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基本例題 119 最大公約数 最小公倍数と数の決定(2)
(専修大)
次の (A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組(a,b,c) をすべて求めよ。 ただし、
a<b<cとする｡
(A) a,b,c の最大公約数は 6
七日
(B) bとcの最大公約数は 24, 最小公倍数は144
(C)αともの最小公倍数は240
解答
●
la' と
こうゆく
うやく
前ページの基本例題118と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。
2つの自然数a,bの最大公約数をg, 最小公倍数を1, a = ga', b=gb'とすると
3ab=gl
21ょうじく
(A)から,a=6k,b=6l,c=6mとして扱うのは難しい (k,1,mが互いに素である
'は互いに素
とは仮定できないため)。 (B)から6, c, 次に, (C)からαの値を求め、最後に (A) を満た
すものを解とした方が進めやすい。
このとき, b=246',c=24c' (b', c' は互いに素で6'<c') とおける。
これから6,c を求める。
最小公倍数について 246'c'=144
(B) の前半の条件から, b=246′,c=24c′ と表される。
b'<c'
ただし, b', c' は互いに素な自然数で
(B) の後半の条件から
24b'c' =144 すなわち b'c' = 6
これと ①を満たす b', c' の組は
9
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
練習 次の(A).. (B)
COT
ゆえに (b, c)=(24, 144), (48, 72)
(A)から,αは2と3を素因数にもつ。
また, (C) において 240=24・3･5
[1] b=24=233) のとき, a と 24 の最小公倍数が 240
であるようなαは
a=24・3･5
これは,α<bを満たさない。
[2] b=48(23) のとき, a と 48 の最小公倍数が240
であるようなαは a=2².3.5
ただし p = 1,2,3,4
<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき
30,48,72の最大公約数は 6, (A) を満たす。
以上から
(a,b,c)=(30,48,72)
p.525 基本事項因 基本 118
a=30
120 互いに素に関する証明問題 (1)/
は自然数とする。 n +3は6の倍数であり / n+1は8の倍数であるとき,
+9は24の倍数であることを証明せよ。
任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素で
(2)
あることを証明せよ。
p.525 基本事項 2 重要 122.
Agb'c'=l
b=246', c=24c'
3つの数の最大公約数は
6=2.3
240=24･3･5
[1] b=2³.3
[2] b=2･3
これからαの因数を考
える｡
( b, c) をすべて求めよ。 ただし、
(1) n を用いて証明しようとしても見通しが立たない。 例題110 のように, n+1,
n+9 がそれぞれ 8, 24の倍数であることを, 別々の文字を用いて表し, n を消去す
る。そして、nの代わりに用いた文字に関する条件を考える。次のことを利用。
a,b は互いに素で, akが6の倍数であるならば,
(a, b, kは整数)
kは6の倍数である。
★
......
(2)nn+1は互いに素nとn+1の最大公約数は 1
nとn+1の最大公約数をgとすると
この2つの式からnを消去して g = 1 を導き出す。ポイントは
A. Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1
CHART
n=ga, n+1=gb (a,b は互いに素)
11 ak=blならばんは6の倍数はαの倍数
a,bは
互いに素 ② aとbの最大公約数は 1
2
(1) n+3=6k,n+1=81 (k, lは自然数) と表される。 参考 (1) n +9は6の倍
n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1)
15
n+9=(n+1)+8=82+8=8(+1)
数かつ8の倍数であるか
ら 68 の最小公倍数
である24の倍数, とし
て示してもよい。
よって
6(k+1)=8(+1)
すなわち 3(k+1)=4(+1)
3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。
したがって,k+1=4m (mは自然数) と表される。
n+9=6(k+1)=6.4m=24m
したがって, n +9は24の倍数である。
(2) nとn+1の最大公約数をgとすると
n=ga, n+1=gb
(a,b は互いに素である自然数)
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と表される。 n=ga をn+1=gb に代入すると
ga+1=gb すなわち g(b-α)=1
g=1
gは自然数, baは整数であるから
したがって, nとn+1の最大公約数は1であるから,
• (2) の内容に関連した内容を, 次ページの参考で扱っている。
nとn+1は互いに素である。
指針_____ ★の方針。
なお,「3と4は互いに
「素」は重要で, この条件
がないと使えない。 答案
では必ず書くようにする。
また,このとき, Z+1は
3の倍数である。
したがって, 7+1=3m
と表されるから,
n+9=8.3m=24m
としてもよい。
積が1となる自然数は1
だけである。
4章
(1)n
nは自然数とする。 n +5 は 7の倍数であり, n +7は5の倍数であるとき,
⑩8 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
18
