数学
高校生

(2)の問題、、、実数の余りの計算に複素数を持ち込むことに違和感しかないです。

どう理解すれば良いのでしょう

2以上の自然数とするとき,x"-1 を (x-1)2で割ったときの余りを求 めよ。 [学習院大 ] 基本 55,56 ((2) 3x+2x7 +1をx2 +1で割ったときの余りを求めよ。 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。p.94~96 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意 B = 0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いて x=1 を代入することは思いつくが,それだけでは足りな い。そこで,次の恒等式を利用する。 ただしnは2以上の自然数, α=1,6°=1 a"_b"=(a-b)(a-1+a²-26+α-362+......+ab+b^-1) (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 24 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りを 別解 (1) 二項定理の利用。 ax + b とすると,次の等式が成り立つ。 解答 x"-1={(x-1)+1}"-1 x"_1=(x-1)'Q(x)+ax+b =Cn(x-1)"+..+nCz(x-1)2 +nCi(x-1)+1-1 両辺にx=1 を代入すると 0=a+b すなわち b = -α ① に代入して x"-1=(x-1)'Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} n個 a=n よって b = -αであるから b=-n ゆえに, 求める余りは nx-n (23x100+ 2x97+1 を x2 +1で割ったときの商を Q(x), 余 りをax+b(a,b は実数) とすると,次の等式が成り立 つ。 3x100+ 2x97+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 両辺にx=i を代入すると 3i100+297+1=ai+b i100=(i2)50=(-1)=1, i=(i²) i=(-1) i=i である tnx-n ゆえに,余りは nx-n ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+...... +1) であるか また, (x-α)2 の割り算は ら xn-1+x"=2+…………+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 微分法(第6章)を利用する のも有効である(p.323 重 要例題 201 など)。 微分法 を学習する時期になったら, ぜひ参照してほしい。 1+1+…….+1=a から すなわち a b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai =(x-1)2 a=2, b=4 x{(x-1)^2+..+nC2} x=-iは結果的に代入 しなくてもよい。 実数係数の多項式の割り 算であるから、余りの係 数も当然実数である。 (1) n2以上の自然数とするとき、x" を (x-2)2で割ったときの全を求めて 2章 10剰余の定理と因数定理

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