Question

りーたん😎

質問です。
これは何故a/(1-r)を使わず、四角で囲ったところのような計算方法なのでしょうか??
理由を教えて下さい〜!!
宜しくお願いします。

次の無限級数の収束、発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。
3 3 4 4
+
+
2
2
3
3
(1)* 2-
(2)
()
-
1
2
1-3
+
1
4
1
9
+
1
8
1
+
27 16
1_..

(2) 無限級数
1 1 1 1 1
1
1
+
+
+
2 3 4
9 8 27 16
の第n項までの部分和を Sとし,mを自
然数とする。
(i)n=2mのとき
Sn = Sam
- (+/-) + (-1) + ...
=
3
4
9
+{(-)-(-)"}
3
よって
=
k
m
2(-²)^²-2G)*
k=1
m
k=
1/1{1-(1/2)"}
1 - 31/12/2
m
3
3
k
1
196
/{1-(1/2)}
1-1/2
m
-1/12 (12/2)+1/12(1)
m
*6

lim S2m
m →∞0
-
1
22 mil
(ii)n=2m-1 のとき
=
Sn=S2m-1
=
im{1/1-(1/2)^
---{-()}
m
=
- 1/12(12/2)+1/12/11/
よって
(2) im lim S2m-1
m →∞
2.
m
m
- ÷ -( )* + ² · (+)*
3
=
2
2
m
=
- lim{-12-(²) "
→∞
1
n→∞
2
lim.S=1/12
Sn
+1/12 (1/2)^)
•
※6 奇数番目の項は
1 1
1
2'4' 8
偶数番目の項は
1
1
3¹
9
第2項は
(14)
1
m
(1/2)+1)
3
m
3
m
+ (-/-)"
3
(i),(ii) より
したがって,この無限級数は収束し、その
和は1/12 である。
3
+量(号)
1
27
• (-;-;-)"}
• (-/-)"

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

函館駅前

a/1-rは無限等比級数の収束するときの和で,今回赤で囲ったものはただの等比数列の和だからそのような式となる。
赤で囲った前の式をみるとただの有限数列の和だからね。

りーたん😎

コメントありがとうございます。
そうなのですが、最終的には無限に飛ばすので、使ってもいいのではいかと思ってしまって、、

函館駅前

確かに最終的にはそうかもしれませんが,途中の過程において有限数列の和と無限等比級数の和を同一視することはできませんね。あくまで,部分和Snを求めているにすぎないので,その無限に飛ばすのはその求めた後の話なので,ちょっと気が早いかなって感じです。

りーたん😎

返信ありがとうございます。
なるほど〜!!
そういうことなのですね🤔
理解出来ました！
コメント有り難いです。
ありがとうございました。