④ 座標平面上に,直線l:x+3y-k=0 (kは正の定数) と円 C: x2+y2+4x-1=0 がある。
また,円Cと直線ℓ は異なる2点A,Bで交わり, AB=10 である。 以下の問いに答えよ。
(1) 円 C の中心Pの座標と半径を求めよ｡
(2)
kの値を求めよ。
(3)
(4)
の2つの交点A,Bを通り, 点 (1,2) を通る円 C2 の方程式を求めよ。
Cと直線ℓ
点Q(-2,-1) とする。 また,2つの不等式 x2+y2+4x-1≧0 と x+3y-k≧0をともに
みたす領域 D上を点 R (x,y) が動くとき,線分 QR の長さの最大値および最小値を求めよ。
また,そのときの点 R の座標をそれぞれ求めよ。
【配点】 (1) 4点 (2) 7点 (3) 6点 (4) 8点
(1) x2+y2+4x-1=0 よって (x+2)2+y2 = 5
ゆえに, 円 C の中心Pの座標は (-2,0) 半径はV5
(2) 円 C の中心Pと直線ℓ との距離をdとすると
1-2+3.0-kl |k+2|
d=
V12 +32
√10
ここで, 線分ABの中点をM とすると, ∠PMA=90° となる。
したがって, 三平方の定理より
d=PM=√PA2-AM2 =
よって
|k+2| √10
√10 2
ここでk>0より k=3 ...
=
-=
•√(√5)² - (√10)²
2
点 R2 座標
(3)Cと直線ℓの2つの交点A, B を通る円 C2 の方程式を
x2+y2+4x-1+t(x+3y-3)=0 (t は実数) とおく。
円 C2は点 (1,2) を通るから 1+4+4 -1 + t(1+6-3)=0
したがって,円 C2 の方程式は
x2+y2+4x-1-2(x+3y-3)=0
の座標は
x2+y2+2x-6y+5=0 より (x+1)²+(y-3)^=5 ...
√10
2
より [k+2=5 すなわち k+2= ±5
点 R の座標は (-2,√5) であり, 点 R が点 R に一致するとき,
QR は最大値 1+√5 をとる。
また, 直線ℓ': x+3y-3=0 に垂直で、点Qを
通る直線の方程式は,
y+1=3(x+2)
x+3y-3=0とy=3x+5 を連立して
直線ℓ' と ① の交点 R2 の座標を求めると,
6 7
(一)
QR=QR2=
(4) 領域 D は右図の斜線部分である。 ただし, 境界線上の点を含む。
次に,直線x=-2と円 C の交点のうち, y 座標が正であるものを R とすると,
よって y=3x+5 ... ①
点 R2 は線分AB上にあるので, 点 R が点 R2 に一致するとき,
QRは最小値をとる。
A
M
よってた=2
R1
-P-
R2
Q
O
B
したがって,
6 7
(-2, √5) のとき,最大値1+√5,(-1, 1/3)のとき、最小値 4.5
410
5
0
B
6
12\2
√(-2+ 3) + (-¹-3) - √(-3) + (²4/0
+(-1-
)*+
5
5
5
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