Question

あ

この問題の解き方が解説を見てもよくわかりません。
接線方程式が三次関数でその実数解の個数が接点の個数となることや、極大と極小をかけてマイナスにならなければいけないことが特に分かりません。
教えてください🙇‍♂️🙇‍♂️

3次曲線と接線
199
点(1,0) を通って, 曲線 y=x²+ax2+bx に異なる3本の接線をひくこ
とができるような, a, b の条件を求め, 点 (a, b) の存在する領域を図示せよ。
精講
曲線 y=f(x)の接線の方程式は,
接点 (t, f(t)) により決まります.
このときの接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
であり,これが点(a, b) を通ることから,t の方
b=f'(t)(a-t)+f(t) .....(*)
程式
を得ることができます.この方程式をみたす t を
求めれば,その点における接線が1本ひけること
になります。すると, 3次関数のグラフでは接点
が異なれば接線も異なるので,
接線の本数=接点の個数
=方程式 (*)の実数解の個数
ということになります.
y=x^3+ax²+bx
y'=3x²+2ax+6
曲線上の点(t,t+at2+ bt) における接線の方程
式は
解答
y=(3t²+2at+b)(x−t)+t³+at² + bt
y=(3t2+2at+b)x-2t-at2
これが点 (10) を通るのは
0=-2t+(3-a)t2+2at+b
のときである.
f(t)=2t³—(3—a)t²—2at-b
とおく. 3次関数のグラフでは接点が異なれば接線
も異なるので
点 (10) を通る接線が3本ひける
⇒f(t)=0 が異なる3つの実数解をもつ
解法のプロセス
接線の方程式
y=f'(t)(x-t)+f(t)
↓点(1,0)を通る
0=f'(t)(1-t)+f(t)
225
方程式(*)が異なる3つの実数
解をもつ
接線が3本存在する
Ak
y=f(t)₁

⇔f(t) が極値をもち,(極大値)(極小値) <0......(*)
であり, (*)が成立するための a b の条件を求める.
f'(t)=6t²-2(3-a)t-2a
=2(t-1)(3t+a)
であるから
a
(*) f(1)/(-1/3) <0 となる。
2
: -(a+b+1) (27 +²³-6)<
<0
3
(b+a+1)(b_²_²)<0
27
SIX:
..
3
SISES
これを図示すると右図の斜線部分となる. ただし,
境界は含まない。 なお, 直線 b=-α-1 は曲線と
点 (-3, 2) で接している.
← ƒ(1) ƒ(-9) <0
<0ならば
(土) 1キー2であり、(よう)は
3
値をもつ
b=-a-146
-6-3
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mi-

①接線を求める→今回は接点がわからないので文字t
　　　　　　　　でおき、tを含んだ接線の式をだす。

②求めた接線が(1,0)を通るので求めた式に代入。

ここまでは大丈夫かと思われます。

③代入した式が成立するようなtの値を求たい。
(この操作が接点の座標であるtを求めることを意味してます。)ですが今回は接点の座標ではなく、与式に含まれるa,bの取れる範囲についてなので接線が3本弾けることからtが含まれる式は異なる実数解を3つ持つということがわかる。すなわちty平面の三次関数のグラフを考えた時t軸と異なる3点で交わる。

④異なる3点で交わるということは単調増加のグラフでは一点でしか交わらないため不適。
なので極値を持つグラフである必要がある。
しかしただ極値を持つだけでなくt軸と3点で交わっている必要があるので極小値は負の値を取り極大値は正の値を取らなければならない。
ということは極小値と極大値の積はマイナスである必要がある。
あとは計算だけですね。
多分③とかが一番難しいと思うので何か質問があれば答えます。

あ

ありがとうございました！