数学的帰納法 (2)
Pn=t" + m 1
式で表されることを証明せよ.
T
(2) 各項が正である数列{an}が,任意の自然数nに対して
147
s=1+1,
(1) x=t+
n
( 2 ar)=2(ard をみたすとする。
3
\k=1
k=1
(i) a1,a2, as を求めよ.
(i) an を求めよ.
○精講
(1) 自然数nについての命題なので
数学的帰納法を使って証明すること
ができます.帰納法の第2段階目の証明で,帰納
法の仮定を使うためにPk+1 を Pk を用いて表そ
うとすると
Pht1 = th+1+
1
th+1
(n=1,2,3,…) とおくとき, Pnはxのn次
(香川大)
==
(1) 数学的帰納法で示す。
\2
(I)
P₁ = t + 1 = x₁ P₁= 1² + 1/2 = (t + + ) ² -2
よって,n=1,2のときは成立する.
Me 329
解法のプロセス
(1)n=k, k-1での成立を仮
定し
:=xPk-Pk-1
となり, PkとPk-1 についての成立の仮定が必要
になります.したがって, 第1段階目ではn=1,2
での成立を示さなければなりません.
(2)結論を推定し,それを数学的帰納法で確か (1) P.Pe...., Pe-1, Pe, Pery
めるというタイプの典型的な問題です.
(I)
(II)
与えられた関係式から am +1 を求めようとする
と, ak について k=1,2,3,..., m までの情報
がないと αm+1 の項を求めることはできません.
第2段階目の証明ではk=1,2,3,.., m で
の成立を仮定する必要があります.
解答
(* 九州産大)
↓
n=k+1 での成立を示す
(2) n=1, 2, ...mでの成立
を仮定し
凸
n=m+1での成立を示す
= x^² - 2
(I)
(ⅡI)
(2) (P1, P2, ..., Pki, Pk+1
(II)n=k, k-1のときの成立を仮定すると、 すなわち,
Pk, Pk-1 がそれぞれのk次式, (k-1) 次式である
と仮定すると
第8章
1
Px+1=1^²+ = = = =(2²+ √²)(+ + + ) ----
Pk+1=t²+¹+₁
t+
th-1.
th+1
th
tk-1
=xPk-Pk-1
IPk, Pk-1 はそれぞれの (k+1) 次式, (k-1) 次式であるから, Ph+1はヱ
の (+1) 次式である.したがって,n=k+1 のときも成立する.
(I), (II)より, すべての自然数nに対してPはxのn次式である。
2
n
(2) (i) (±ax)² = ±ax³ x 1)
ak
ak3 より
\k=1
k=1
n=1 として, ai²=ai² ... ai²(a-1)=0
>0 より, a₁=1
n=2 として, (1+α2)2=13+α2² ∴. az(az-2)(az+1)=0
a>0 より. a2=2
n=3 として,(1+2+a)^=13+23+α33
a>0 より, a3=3
(i)(i)より, an = n と推測される. これを数学的帰納法で示す。
(I) n=1のときは成立する.
(ⅡI) n=1, 2, ... m のときの成立を仮定すると, n=m+1のとき.
3
/m+1
2 m+1
(Σar)² = "Σan² & h
3
ak より
k=1
k=1
m
2
m
3
Σak+am+1) = Σak³ +am+1²³
k=1
‥. as (as-3)(a+2)=0
\k=1
12
. {m(m+1)+ a...}_{mm +1)}+
= m² (m
2
12) JAJ ***
+αm+13 ( ∵ 帰納法の仮定)
3
∴. am+1 - am+1²-m(m+1)am+1=0
..
am+i{am+1- (m+1)}(am+1+m)=0
am+1>0より, am+1=m+1
(I), (II)より,任意の自然数nに対して an=nである。
よって, n=m+1 のときも成立する。
