Question

イズ

下線部の式変形がどうなっているかわからないので教えてほしいです。

問
45 はさみうちの原理 (ⅡI)
数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, …) をみたす
ものとする。 このとき,次の (1), (2),(3)を示せ .
Q₁
に対して,0<a<3
に対して, 3-an≦
(1) n=1,2,3,
(2)n=1,2,3,
(3) liman=3
精講
12100
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき,ま
ず帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→
「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています.
(3) 44のポイントの形になっています. 臭いプンプンというところでしょう.
解 答
(1) 0<a<3 .･････① を帰納法で示す.
(i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ①は成りたつ .
(i)n=kk≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <an+1<4
\n-1
=(-1) ²² (3-a₁)
:: 1<√1+ak<2=2<1+√1+ak <3
12 < ak+1 <3
よって,0<ak+1 <3 が成りたつ.
(i),(ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ.
(2)an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1
をつくると
右辺にも3ーan がでて
くる
ħ2=(2−√1+an)(2+√1+an)
2+√1+an
3-a>0 だから,
(1)より 1<√1+an <23<2+√1+an<4
3-an
2+√1+an
∴. 3-
3-An
2+√1+an
==<
2+ tan
-(3-an)
-an+1 < (3—an)
3

よって, n≧2 のとき,
3-an</1/2 (3-an-1) < (13) (3-an-2)<.…...(1/2)" (3-41)
く
(3-a₁)
n=1のときも考えて,
1\n-1
(1) ²(3-a₁)
3
1\n-1
3-an≦
(3) (1), (2) £)
1\n-1
ここで...(13) (3-4)}-0 だから,
lim
=0
はさみうちの原理より
参
考
0<3-a-s(²) (3-as)
03-an≦
lim (3-an)=0
n→∞
43 でグラフを利用して数列の極限
を考えました. 今回は、38の復習も
兼ねて, グラフで考えてみます。
y=f(x)=1+√1+x と y=xのグラフを
かき, a1 を 0<x<3 をみたすようにとれば,
a2,a3, ... と, どんどん3に近づいていく様
子が読み取れるはずです.
.. liman=3
a3
42
az
n→∞
y (an+1)
20
79
a a2 3
y=x
y=f(x)
(am)
IC

Answer 1

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🍇こつぶ🐡

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イズ

ありがとうございます！

🍇こつぶ🐡

いえいえ🙇