Question

倶知安くっちゃん

【微分方程式】質問は，画像の大問2に関してです．

(1)この証明が正しいか教えてください．(自信あり！)

(2)と(3) 私の考えついたやり方では，yが残ります．
　解法を教えてください．

(4) 自信があります．正しいか確認してください．
　誤答の場合，正しい答え方を教えてください．

よろしくお願いします．

問題用紙
(数学･応用数学)
1 01
問題1 A= 030 とおくとき、 下の問いに答えなさい｡
101
(1) A の固有多項式 [tE-A を求めなさい。 ただし, Eを3次単位行列とする。
(2) Aの固有値と固有ベクトルを求めなさい。
問題2の関数y=g(x) に関する微分方程式
(*)g" + y = sinz
を考える。 u= u(x)=-ycost+y sinz, v=v(x)=ysinz+y cos とおくとき,
下の問いに答えなさい｡
(1) ucos+using=y が成り立つことを示しなさい。
(2) , vxの関数として表しなさい。
(3)
, をxの関数として表しなさい。
(4) 微分方程式 (*)の一般解を求めなさい｡
問題3 zy 平面において, 領域 S, T を
S : 2² + y² ≤1
T: 1≤² + y² ≤ 4,0 ≤ y ≤ x
と定義する。 下の問いに答えなさい｡
(1) 重積分 † (2² + y²) dzdy &***ěv¹.
(2) 重積分 SS₁² tan-1dxdy を求めなさい。
問題4nを自然数とする。 箱Aには赤玉1個と白玉2個が入っている。 箱Bには赤玉2個
と白玉1個が入っている。 まず箱Aと箱Bをでたらめに選ぶ。 次に、選んだ箱から
復元抽出で回繰り返し玉を取り出す。 下の問いに答えなさい。
(1) n=1のとき, 赤玉が取り出される確率を求めなさい。
(2) n回全てで赤玉が取り出される確率 pm を求めなさい｡
(3) 回全てで赤玉が取り出される条件の下でn+1回目も赤玉が取り出される条
件付き確率を求めなさい。
問1 枚中の1枚目一
長岡技術科学大学

②1=y(s)に関する微分方程式
(X.) y" + y = six. Eth}. E
u Euce) y cos et sinx, V = v = † sàn tổ c
(1) -ucosx+vsmx=yが成立することを示せ。
~(~Y COSx + y² simx) eos x + (0 smx + y cos x) sing
= + cos²x + y² simx.cosx + y²sm²³x + y sme cos &
YH
= y ( cos ²% + sin ²x)
よって-ucosx+Vzmg=yが成り立つ
(2) W's Vをxの関数として表せ。
ư ngôm x tuy c
V = uy cose - y sin
(3) UVをXの関数として表せ

(4) (※)の一般解を求めよ
斉次として、
x2+1=0
入=さん=0土
y = Geox sinx +Geox OS X ² = C₁ Sim x + C₂ cost
yy=Axsms. とする。
y² = A simx + Ax cOS X
"y" = AcOSX + Ac$£ - Axsix = 2Acosz - Azoix X
· y = Bxcos 2₂
y' = Boost - Broma
y" - - Bornx - Bsmx -3x 00sx.
y/² + y = -2B8mL - Bx OS X FBxcos x = -2Bsinx = Simg
ユ
B = - 12/2
よって(※)の一般解は.
y = C₁ sm x + C₂ cosx - 1 x cosx.
但し、CiCgは任意定数