この問題において√3を有理数と仮定して、既約分数で表すことはわかりました。

数学

高校生

解決済み

約2年前

この問題において√3を有理数と仮定して、既約分数で表すことはわかりました。
しかし、このとき、既約分数以外は使ってはいけないのである有理数に限定されることも分かります。
ここで私が思ったのは，このある有理数に分類されない，ほかの有理数は、なぜ、無理数の証明に使えないのか？と言うことです。例えばa＝6、b＝9など…
分かりにくかったらまたその都度返答お願いします。

あることを p.76 基本事項・を導く。二有理数にな〇和・差・有理数(か里数の和・理数とは 2) = 2 基本例題 45 √3 が無理数であることの証明命題「nは整数とする｡ n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真ある。これを利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。基本 44 CHART & SOLUTION 証明の問題直接がだめなら間接で背理法 3が無理数でない (有理数である) と仮定する。このとき,√3=r (rは有理数)と仮定して矛盾を導こうとすると,「√3=y の両辺を2乗して,3=r」となり,ここで先に進めなくなってしまう。そこで, 自然数a,bを用いて√3=0(既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。解答 3 が無理数でないと仮定する。 r このとき √3 はある有理数に等しいから、1以外に正の公約数をもたない2つの自然数α, 6 を用いて√3=1 と表される。 ³ a=√36 a²=36² ...... ゆえに両辺を2乗するとよって, d2は3の倍数である。 2 が3の倍数ならば,αも3の倍数であるから, kを自然数として α=3k と表される。これを①に代入すると 9k2=362 A, bat 既約分数 : できる限り約分して, αともに1以外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 α 6 の最大公約数が1であるとき, αとは互いに素であるという (数学A 参照)。 ◆下線部分の命題は問題文で与えられた真の命題である。なお, 下線部分の命題が真であることの証明には対偶を利用する。すなわち 62=3k² よって,62は3の倍数であるから, も3の倍数である。ゆえに,αと6は公約数3をもつ。これは,αと6が1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。したがって,3は無理数である。 2章 6 論理と集合

論理と集合

回答

✨ ベストアンサー ✨

なじみ

約2年前

なぜa/bが既約分数でなければならないのかという質問ですか。それなら、

今回の証明で一番重要なのは、
「もともとa,bは既約分数としていたのに計算をしていくと同じ約数の3がある事が分かり既約分数では無いじゃないか。」
という点です。そうすると背理法から、最初に仮定した√3が有理数である事が間違いだな、となるので√3は無理数である。というながれです。
つまり、a,bを既約分数にしないと上手く証明できないからです。