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(1) 直角三角形ＡＢＨとＡＣＨにおいて
三平方の定理を利用し、
ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ²＝ＡＣ²－ＣＨ²
ＡＢ＝12，ＢＣ＝10，ＢＨ＝ＢＣ－ＣＨ＝10－ＣＨ，ＡＣ＝8より
12²－(10－ＣＨ)²＝8²－ＣＨ² を解いて、ＣＨ＝1
ＡＨ²＝ＡＣ²－ＣＨ²で、ＡＣ＝8，ＣＨ＝1より
ＡＨ²＝8²－1² より、ＡＨ＝3√7
(2) 三角形の内心は内角の二等分線の交点です
△ＡＢＣで、ＡＤが∠Ａの二等分線であることか
ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ＝12：8＝3：2
ＢＤ＋ＣＤ＝ＢＣで、ＢＣ＝10なので
ＢＤ＝10×{3/(3＋2)}＝6
△ＢＡＤで、ＢＩが∠Ｂの二等分線である事から
ＡＩ：ＩＤ＝ＢＡ：ＢＤ＝12：6＝2：1
(3) △ＡＢＣの面積を2通り表します
内接円が各辺と接する(半径⊥接線)を利用し
△ＡＢＣ＝△ＩＡＢ＋△ＩＢＣ＋△ＩＣＡ
半径r，ＡＢ＝12，ＢＣ＝10，ＣＡ＝8 より
△ＡＢＣ＝(1/2)ｒ{12＋10＋8}＝15ｒ ･･･ ①
底辺ＢＣ＝10、高さＡＨ＝3√7 から
△ＡＢＣ＝(1/2)×10×3√7＝15√7 ･･･ ②
①，②より、15ｒ＝15√7 を解いて、ｒ＝√7
内接円の半径は√7
(4) (1)，(2)を利用します
ＤＨ＝ＢＨ－ＢＤ＝(ＢＣ－ＣＨ)－ＢＤ＝(10－1)－6＝3
直角三角形ＡＤＨで、ＡＨ＝3√7，ＤＨ＝3 から
ＡＤ²＝(3√7)²＋(3²)＝72 で、ＡＤ＝6√2
ＡＩ：ＩＤ＝2：1 で、ＡＩ＋ＩＤ＝6√2 から
ＡＩ＝6√2×{2/(2＋1)}＝4√2
すべての問題とてもわかりやすかったです！
ありがとうございました🙇♀️