Question

ゆり

（2）のanの求め方を教えてください🙇🏻‍♀️
（1）はbn=ｎ＋５/ｎ＋７bn-1でした。

【1】 数列{an}(n=1,2,3,...) は漸化式
(n+7) an+1-(2n+12) a₁ + (n +5)an-1=0 '(n ≥2)
を満たしている. 次の問いに答えよ.
(1) bm=010 とおく.0m をb7-1 (n ≧2) で表せ.
n+ 1
b₁-1
n+ 2
(2) a₁ = 7/7₁
*
b₁
=1/1.42=1/14
a
an
1
3 4 の選択肢
① n 2n+2 3 n+4 ④n+6 5 n +8
5 選択肢
①2
であるとき, a を求めよ.
3
4
(3) (2)で求めた 4 に対して, lim (am)" を求めよ.
lim (a,)*
71-400
②3
=
5
3 e²
(30点)
(35点)
(35点)

無限級数 漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みと

参考・概略です

【Ⅰ】(1)の結果を利用し、b_(n)を求めます

(ⅰ)
b_(1)を求めて置きます(後の為に軽い処理をします)
b_(1)＝a_(2)－a_(1)＝(1/4)－(1/7)＝(3/28)＝(6/8)･(1/7)

(ⅱ)漸化式を書きだしていきます
b_(n)　 ＝{(n＋5)/(n＋7)}･b_(n－1)
b_(n－1)＝{(n＋4)/(n＋6)}･b_(n－2)
b_(n－2)＝{(n＋3)/(n＋5)}･b_(n－3)
b_(n－3)＝{(n＋2)/(n＋4)}･b_(n－4)
・・・・・・
・・・・・・
b_(4)　 ＝{9/11}･b_(3)
b_(3)　 ＝{8/10}･b_(2)
b_(2)　 ＝{7/ 9}･b_(1)
b_(1)　 ＝{6/ 8}･(1/7)

(ⅲ)最初の式に下の式を、順次・代入していくと

b_(n)＝{(n＋5)/(n＋7)}･{(n＋4)/(n＋6)}･{(n＋3)/(n＋5)}
　　　　･{(n＋2)/(n＋4)}･･･{9/11}･{8/10}･{7/9}･{(6/8)･(1/7)}

●約分ができ、順に消えていき

b_(n)＝6/{(n＋6)(n＋7)}　となります

――――――――――――――――――――――――――――――――
【Ⅱ】b_(n)＝a_(n＋1)－a_(n)とⅠの結果を利用します

a_(1)＝(1/7)，a_(n＋1)－a_(n)＝6/{(n＋6)(n＋7)}より

　階差数列を考え
　　　　　　　　 n-1
　a_(n)＝a_(1)＋6･Σ[1/{(n＋6)(n＋7)]
　　　　　　　　 k=1

　a_(n)＝(1/7)＋6[(1/7)－{1/(n＋6)}]

　a_(n)＝(1/7)＋6[(1/7)－{1/(n＋6)}]
　　　　　　　
　a_(n)＝(1/7)＋{6(n－1)/7(n＋6)}

　a_(n)＝n/(n＋6)

ゆり

回答ありがとうございます！おかげで理解できました！