Question

いちご

〔2〕でなぜ平方完成しているのかわからないです。
教えて下さい

(1) 5t, t+2, 2t+3 を 辺の
t の値の範囲を求めよ.
(2) t >2 のとき, (1) の三角形は鈍角三角形であることを示せ.

値の範囲は 1<t</12
5
(2)(1)の条件とt> 2 より 2 <t<
である.
2
このとき, 5t-(t+2)=4t-2>0
5t- (2t+3)=3t-3>0
なので最大辺の長さは5t であるから
(5t)²(t+2)²+(2t+3)² .....
....1
を示せばよい.
f(t)=(5t)²-(t+2)²-(2t+3)²
=20t2-16t-13
=20(1-2)²-85
y=f(t) は下に凸の放物線で,
2
軸がt=
6
5
・<2
f(2) = 35> 0 なので,
5
f(t) >0 (2< t < ²/2)
よって, ① は成立し, 三角形は鈍角三
角形である.

Answer 1

ほり

「数学は会話をするように回答を作れ」って東進の先生が言ってました(*^^*)

Answer 2

水里

①を示せれば、「(1)の三角形は鈍角三角形である」ことが示されます。(鈍角三角形の成立条件)
「不等式の証明は、(左辺)－(右辺)にして正負を示す」のが定石なので、この解答でも、f(t)=(①の左辺)－(①の右辺)とおき、f(t)が正であることを示そうとしてます。
【説明①】
計算すると、f(t)はtの2乗とtの1乗と定数から成ることがわかります。文字であるtを一箇所に集める方がf(t)を把握しやすいので、平方完成をして文字tをひとつに集めてます。
【説明②】
平方完成すれば、f(t)は頂点(2/5、－81/5)である下に凸な放物線であることがわかってグラフ化できます。【視覚化すると答えが出やすいことが多いです】

水里

なぜ平方完成するのか、【説明①】と【説明②】の２つが思いつきましたが、【説明②】が正しい気がするので、そっちを読んでみてください。

水里

画像は、f(t)を視覚化した結果です(グラフを描きました)。f(t)のtは2＜t＜5/2を動くことは分かっていて、かつ、グラフから、t=2の時がf(t)の最小値であることがわかるので、f(2)＞0を示せれば、f(t)＞0を示したことになります。

Answer 3

あつし

2<t<5/2の範囲で①を満たせれば、題意を示せるので、まず①を「大>小を示すために大-小>0であることを示そう」のように考えます。①を左辺-右辺するとtの二次関数が出てきたので、平方完成することでグラフの軸と頂点を判明させます。そしてグラフの軸と2<t<5/2の範囲の位置関係を調べて、2<t<5/2の範囲で常にtの二次関数が正であると分かれば、①も2<t<5/2の範囲で常に正となる。よって題意を示せた。このような流れです。
分かりづらい説明ですいません。