Question

らむ

下線部について質問です。

方程式g(x)＝0が重解aをもつとき、
g(a)＝g´(a)＝0が使えるのですよね？

a,-1/3aは重解ではないのにどうして公式に当てはめられるのでしょうか...?
どなたか教えてください🙇

標問 96
接線の方程式 (2)
(1) f(x)はxについての多項式とする.
(180) (A)
曲線 C:y=f(x) 上の点P(a, f(a)) を通る直線 y=mx+n がPにお
けるCの接線であるための必要十分条件は
0=(₂₂)
f(x)-mx-n = 0 が x=a となる重解をもつ
ことである.これを証明せよ。 (
コ
( 福岡教育大 )
(2) 直線y=m(x-1) と曲線 y=(x-1)(x+a)(x-α)が接するときのm
vet
の値を求めよ.ただし, a は 0<a<1 をみたす定数とする.
(島根大)
(1)y=mx+n が P(a, f(a)) にお
ける接線であるということは,
mx+n=f'(a)(x-a)+f(a)
が任意のxに対して成り立つということです.
一方,g(x)=f(x) -mx-n とおくと
g(x) は多項式であり,
>
(5)\-(0)1=(x)D
精講
方程式 g(x)=0が重解αをもつ
ための必要十分条件は
g(a)=g'(a)=0
(標問 94 )
でした.g(a),g' (a) の中に, f(a),f'(a) が現れ
ますから,m,nの条件とつながります.
(2) g(x)=(x−1)(x+a)(x−a)²—m(x−1) ≥
して(1)を利用します.
(1) P(a, f(a)) における接線の方程式は
y=f'(a)(x-a)+f(a)
0=(D)'p=(0) 350
(8)
解法のプロセス
(1) (a, f(a)) における接線
がy=mx+nである条件(A)
を式で表す
STENG
であるから
「y=mx+nがPにおけるCの接線である」
↓
f(x)-mx-n=0
x=aで重解をもつ条件
(B) を式で表す
(A)(B)かつ(B) (A) を示す
(2) (1) の利用を考える
26 (x)=v(x)\S
解答>
f(x)=m(x-1)=0
が重解をもつ
‥. y=f'(a)x+f(a)-af'(a)
⇔ 「m=f'(a) かつ n=f(a) - af'(a)」
一方,g(x)=f(x)-mx-n とおくと
「f(x)-mx-n=0 が x=α となる重解をもつ｣
R
> (c)-(1)-(......(A)
) (x) Zeled
⇔「g(a)=0 かつ g'(a)=0」
であるから, (A)
(B)であることを示す.
(A) ⇒ (B)であること (B)は(A)の必要条件):
温常g(x)=f(x)-xf'(a){f(a) - af'(a)} とおくと
......(B)
Tap
214

(2) g(x)=(x-1)(x+a)(x
g(z)=(x-1){(x+a)(x-a)^-m}=(x-1)h(x)
である.ただし,h(x)=(x+a)(x-a)^-m とおいた.
「y=m(x-1) がy=(x-1)(x+a)(x-a)2 の接線である」
⇔g(x)=0が重解をもつ
⇔h(1)=0 またはh(x)=0が重解をもつ」
(i) (1) = 0 となるのは, m=(1+α) (1-α)2 のときである。
(i) h(x)=0が重解をもつのは,h (α)=h'(a)=0
をみたすα が存在するときである.
a
ゆえに,a=a, -33
h
h'(x)=(x-a)+(x+a)・2(x-a)=(x-a)(3x+a)
a
56030
30101
h(a)=h'(a)=0 をみたすは
(pe
n(-1/3)=(-1/3)=0 をみたすは
の場合を考える.
以上(i),(ii)より m=(1+a)(1-a)2,
m=0
32
27
m=-
32
27 a³, 0
#4
93

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Clearnoteユーザー

h(x)が重解を持つことを考えていて、h’(x)=0になる時のαを求めたので、それをh(x)に代入しています。
重解であるかどうかより、重解を持つならば、らむさんが仰っている公式が使えるので、それが成り立たなければならないという感じだと思います。

Clearnoteユーザー

いという感じだと思います。