Question

み

数3、微分の方程式、不等式への応用の問題です！352(2)のマーカーの部分がイメージがわきません💦ここの部分の詳しい解説を知りたいです。また、ここを簡単に言い換えれる文ってありますか？

E
D
STEP<B>
352 x>0 のとき,次の不等式を証明せよ。
x2
(1) sinx>x-
2
*(2)
1 - 1/² x < -√ 1 ²+² x < 1 - 1/² x + ³² x ²
3

した
(②2) f(x)=-
1+1/x-(¹-1/1/2
1
= 2√(1+x)³
√1+x
f'(x)=
g'(x)
1
= 1/(1-√(1 + x)²
x>0のとき f'(x) >0であるから, f(x)はx≧0
11
で単調に増加する。
f(0)=0 であるから, x>0 のとき
f(x) > f(0) = 0
ゆえに 1-12/2x<
11
3
11
0(x) = (1 - 1/2 x + ²³²*³²) - √² + x ²*³ ²
.2
とおくと
-X
8
1
1 3
2
とおくと
1
√1+x
+12
+2x+
4 2√(1+x)3
3
1
3
3
=
1-
g'
g(x)=1/1-1/(1+x) 5
4
4√(1+x)
4
x>0のときg"'(x) > 0 であるから, g'(x) は
x≧0で単調に増加する。 () + '=(x)
g′(0)=0 であるから, x>0のとき
ゆえに
①, ② から,x>0のとき
1
√(1+x)5
g'(x) >g'(0)=0
よって,g(x) は x>0 で単調に増加する。
g(0)=0であるから,x>0のとき
g(x)>g(0)=0
√₁+x<1-1/2x+3x²
8
1-x</<1-1*+*²
√1+x
3
2

数3 微分 方程式、不等式への応用 微分の応用

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

f

イメージとしては、g''(x)>0というのは、増減表のg'(x)のところに「+」と書いているのと同じ感覚です。「+」と書いた下のg(x)は↗︎と書きますよね。単調増加とは、途中で減少したりしないことです。

そして、g'(0)=0なら、x>0の範囲では単調増加なので、負の値を取ることはありません。

なので、また同様にx>0でg'(x)>0となるわけです。

この解き方はよく出題されます。基本的にはこの記述の仕方が一番簡潔です。

み

なるほど！g’’(x)ならg’(x)の増加減少、g’(x)ならg(x)の増加減少を表してるような感覚ですか？

f

そゆことです！

結局、g'(x)も1つの関数に過ぎませんから。

み

ほんとにありがとうございます！全然理解出来なかったんですけど理解出来ました😭