重要 例題 35 数字の順列 (数の大
一次の条件を満たす整数の組(a1, a2, a3, α4, as) の個数を求めよ。
(1)0<a<az<a <a <as <9
(2) mamaz≦assassas
(3) ar+az+a+astas≦3, ai ≧0 (i=1, 2,3,4,5)
を選び, 小さい順に a1,a2,......, α5 を対応させればよい。
求める個数は組合せ C5 に一致する。
指針 (1) a1, A2, '....', as はすべて異なるから, 1, 2, ……, 8の8個の数字から異なる5
て5個を選び,小さい順に a1,a2,…… α5 を対応させればよい。
→ 求める個数は重複組合せ 4H 5 に一致する。
(2) (1) とは違って, 条件の式に を含むから, 0, 1, 2,3の4個の数字から重複を許し
!!
(3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+a2+ax+a+α5)=bとおくとa+a2+ax+a+as+b=3
また, a1+a2+as+a+as≦3から
6≥0
よって、 基本例題 34 (1) と同様にして求められる。
解答
(1) 1, 2, ………,8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい
順に α1,a2,.., α5 とすると, 条件を満たす組が1つ決ま
る。
よって, 求める組の個数は 8C5=gC3=56 (個)
(2) 0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小
さい順に α1, a2, ・・・・・・, as とすると, 条件を満たす組が1つ
決まる。
よって, 求める組の個数は H5=4+5-1C5=8C5=56 (個)
(3) 3-(a1+a2+a3+ax+as)=6とおくと
a1+a2+ax+a+as+b=3,
1
ai≧0 (i=1,2,3,4,5), b≧0
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の
個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取る重複組
合せの総数に等しく 6H3=6+3-1C3=gC3=56(個)
……....
別解 a1+a2+ax+a+as=k(k=0, 1,2,3) を満たす0以
上の整数の組(a1,a2,a3, a4, a5 の数は 5H であるから
sHo+sHｭ+sH2+5H3=4Co+5C1+6C2+C3
=1+5+15+35=56 (個)
|〇|〇〇|| 場合
(0, 1, 0, 2,0)を表すと
考える。このとき,
検討
(2),(3)は次のよ
うにして解くこともできる。
(2) [p.348 検討の方法の利
用] bi=aiti(i=1,2,1
4,5)とすると,条件は
0<bｪ<b2<b<ba<b<9
と同値になる。よって
(1) の結果から 56個
(3)3個の○と5個の仕切り
を並べ,例えば,
A|B|C|D|E|F
とすると, A, B,C, D.
E の部分に入る○の数を
れぞれ a1, a2, 3,
とすれば組が1つ決まるか
ら
8C3=56 (1)
場合の数・
場合
によるの
代表的な
• (a+b)
・2700=
5桁の整数nにおいて,万の位, 千の位, 百の位、十の位, 一の位の数字をそれぞ
練習
35 na,b,c,d,eとするとき,次の条件を満たすnは何個あるか。
(1) a>b>c>d>e
(2) a≥b≥c≥dze
(3) a+b+c+dte≦6
10人な
・10人を
(ア)特
(イ)牛
10人
・異な
10人
3本
・正n
・10月
・10、
• a 3
･3種
・x+
(ア)
(イ)
組分に
・15
・15
・15
・15
15
・1
6
}
