次の (A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組(a,b,c)
a<b<c とする。
(A) a,b,c の最大公約数は 6
(B) bとcの最大公約数は 24, 最小公倍数は144
(C) α ともの最小公倍数は240
指針 前ページの基本例題 118 と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。
2つの自然数 α の最大公約数をg, 最小公倍数を 1, a = ga', b=gb'′ とすると
3ab=gl
αと
は互いに素
21=ga'b'
(A) から a=6k,b=61,c=6mとして扱うのは難しい (k, l,mが互いに素である
とは仮定できないため)。 (B) から b, c, 次に, (C) からαの値を求め,最後に(A)を
すものを解とした方が進めやすい。
このとき, b=246',c=24c' (b', c' は互いに素でB'<c′') とおける。
S
これから6', c'を求める。
最小公倍数について 24b'c'=144
すべて求めよ。
ip=da
(B) の前半の条件から,b=246′,c=24c′ と表される。
解答 ただし、B', c'′ は互いに素な自然数で
$7=504 61
b'<c'
11
(B) の後半の条件から
>DOFFS
24b'c' = 144 すなわち B'c'=6
これと ①を満たす b', c' の組は
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
ゆえに (b,c)=(24,144), (48,72)
可業自 CKNIN
Se='dal+'bəl
· SI= d+b
p.525 基本事項
(A)から, αは2と3を素因数にもつ。
また, (C) において
240=24・3･5
IL
08
Et
[1] 6=24(=23) のとき, αと24の最小公倍数が240
であるようなα は a=2¹.3.5
これは, α<bを満たさない。
[2] b=48(=2.3) のとき, a と 48 の最小公倍数が 240
であるようなαは a=2・3･5
ただし p = 1,2,3,4
a<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき
30,48,72の最大公約数は6で, (A) を満たす。
以上から (a,b,c)=(30, 48,72)
a=30
Agb'c'=l
b=24b', c=24c
3つの数の最大公
6=2-3
240=2･3･5|
[1] 6=2³.3
[2] 6=2･3
これからαの因
える｡
