Question

なごみ

43の解答の(2)のQ－Sの部分(赤い線が引いてあるところ)と(3)の変形がなかなか思いつきません。どのように考えればよいですか？教えてください！

必解 43.
a, b, c を相異なる正の実数とする。
(1) 次の2数の大小を比較せよ。
a3+b3, a2b+b²a
(2) 次の4数の大小を比較し,小さい方から順に並べよ。
(a+b+c)(a2+b+c), (a+b+c)(ab+bc+ca), 3(a+b+c), 9abc
(3)x,y,z を正の実数とするときy+2+2+x+x+y
のとりうる値の範囲を求めよ。
x
y
Z
〔東京医歯大・医,歯]

とは互いに同値であるから、 1/12 1/10
(1)から、等号が成り立つのはa=b=cより==
なわち x=y=zのときである。
次に QR を示す。
Q0 かつR>0より, QR であることと
す
よって
P-Q> 0
R
Q
1/22/1/12 であるこ
同符号の2数は逆数をとる
と大小関係が逆転する。
を示す。
a, b, cは相異なる正の実数であるから
=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2
Q-S=ab+ab+ac+ac+b2c+bc2-6abc
=ab2-2abc+ac+bc22abc+ba²+ca2-2abc+cb2
ゆえに
Q<P
R
よって
Q-S>0
1
xy シス
a(b-c)20,6(c-a)>0,c(a-b) > 0
ゆえに
ると
よって
(a+b+c)(a+b2+ c'), 3(a+b+c)
したがって, SQ <P<Rとなり, 4数を小さい方から順に並べ
9abc, (a+b+c)(ab+bc+ca),
S<Q
9
R Q
b=
a=
ここで、... / とおくと,①から
1205
1
R Q
¯ ½ ½ = ½³½(a²+b²+c³)− abc = ½³ (a³+ b²+c³-3abc)-
=1/2(a+b+c)(a+b+c-ab-be-ca)
≧2.
2.x
=2
......
①
y
xy
(3)x,y,zはすべて正であるから、VVVVVVVVV/4はすべ
て正である。
よって,相加平均と相乗平均の大小関係から
よって, ②と (1) から
ゆえに 12/1
y 2
z.y =2 ......②
R
x Z
=2
よって
Q≥R
1
1
1
等号が成り立つのは (1) から, a=b=c より
すなわち x=y=zのときである。
① ② ③ の辺々を加えると
x
y+z+z+x+x+y≥6
43 〈数の大小比較>
(2) 2数ずつ差をとって考える。
まず, a, b, cに適当な数を代入して, 大小関係の見当をつける。
(3)分数を分解し,xとy,yとzxzの分数式について, それぞれ
相加平均と相乗平均の大小関係を利用する。
(1)(a+b)-(ab+b2a)=d(a-b)-62(a-b)=(a-b)(a+b)
④
x
y
Z
y=x
y
等号が成り立つのは,X=1か2=1/かつ1/2=1/28すなわ
y
ちx=y=zのときである。
次に、④の左辺で, y, z を固定してxの関数とみると, これは連続
関数で, xが十分大きいと限りなく大きな値をとりうる。
以上により, ④の左辺のとりうる値の範囲は
y+z+z+x+x+y≥6
XC
2
◆文字が正であり, 和に対し
積が定数などの特徴をもつ
とき, 相加平均と相乗平均
の大小関係がよく使われる。
x>0を満たすすべてのx
の値で関数が連続。
a, b は相異なる正の実数であるから
(a-b)20,a+b>0
よって, (a-b)2(a+b) > 0 となり
a +63> ab+ b'a
(2) P=(a+b+c)(a+b2+c^), Q=(a+b+c)(ab+bc+ca),
R=3(a+b+c),S=9abc とおくと
R-P=2a+26+2c³-a2b-ab²-b2c-bc²-c²a-ca²
◆q=1,6=2,c=3 とする
とP=84,Q=66,R=108,
S=54 となり,
S<Q<P<Rと予想でき
る。
◆b+cbc+bc2,
c³+a³>c²a+ca²
y
別解 (2) のQ > S を示した式から,正の実数x, y, zに対し
yz(y+z)+zx(z+x+xy(x+y)≧6xyz
ゆえに y+z+z+x+x+y ≥ 6
X
y
Z
等号が成り立つのは,x-y=0 かつy-z=0 かつz-x=0 す
なわち x=y=zのときである。 (以下,本解と同様)
44 〈無理数であることの証明〉
←ab+ab2+a'c+ac²+b2c
+bc2-6abc > 0
ここでは,x, y, zは必ず
しも相異なる数ではない。
(1)無理数である(=有理数でない)ことを直接示すのは困難背理法 を利用
(2)√2+1/3g(有理数)として、まず1/3が消去できるように式変形する。
(1)√2 無理数でない, すなわち有理数であると仮定すると
=((a+b)-(a2b+ab2)}+{(63+c)-(bc+bc2)}
+{(c+α)-(ca+ca²)}
a,b,cは相異なる正の実数であるから, (1) より
ゆ
P<R
P-Q=(a+b+c) (a+b2+c-ab-bc-ca)
R-P>0
=(a+b+c)/(a-b)+(b-c)+(c-a)"}
a,b,c は相異なる正の実数であるから
=((a-b)²+(b-c)²
a+b2+c2-ab-bc-ca
√2=
m
(m,nは互いに素である自然数)
a+b+c>0, (a-b)+(b-c)'+(c-a)^> 0
+(c-a)"}
とされる。
38 数学重要問題集(
n
このとき,m
である。
は約分数