506 第8章数
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例題 289 格子点の個数
解答
列
disol
(E)
を自然数とするとき, 次の条件を満たす整数の組(x,y) はいくつある
tugal Staol 15coll Segol
I-90 .sol.3.8.gol Sigol
か.
(1) p≤lyl≤2p, p≤lx|≤2p058 p²=Sagol (1)
(2) x+2y≤2p, y≥0, x≥0TI «ĆÏUS?ĆU A U
(学習院大改)
(3) 0≤y≤500, 0≤x≤√y 4stor for
考え方 座標がすべて整数である点を格子点という.
I=Dagal D-14gol
(1),(2) 具体的な数を入れて考えてみるとよい。
たとえば, (2)では,
YA
p=1
1
20
p=2
1
2
XC
0
となり, p=1のとき, 1+3=4
gol
3
ここでは、与えられた条件を
LLUS
x
100_n.
(3) 0≤x≤√y , (0≤) x²≤y
x=p上にある格子点の個
数は,
p=2 のとき, 1+3+5=9
p=3のとき, 1+3+5+7= 16
p=4 のとき, 1+3+5+7+9=25
(1) 領域は、 右の図のように,
1辺の長さかの正方形 4つ分
である.
y
30
O
0≤y≤500, 0≤x≤√y ≤√500=10√5 = 22.4
より、 右の図のようになる.
0805=23-10-
p=3
x=k上にある格子点の個数を考える.
-2pi
(x≥0
1x² ≤ y ≤500 と変形し
6
YA
3
2p
P
0
-p
-2p
となっている.
10.2.0+81
HO
一般に,直線 y=k(k=p,-1, ..., 0) 上には,それぞれ1,3,5, …,
(2p+1) 個の格子点が並んでいる.
y
p2px
3---(2,3)
0 2x
YA
43
p=4
...
****
Hol
CARDA
g
TERA
500円
aros-40-88-
0
p+1
カ
- p,
p+I
格子点
y=x²
22 x
y=p, p+1, , 2p,
-p, -p-1, .......
-2p
の{2ヵ-(p-1)}×2=2 (p+1) (個)
同様にして,
x=p,
2p, -p,
-2p
上の格子点の個数は, それぞれ, 2(p+1) 個(エ+s線の数は2(p+1) 本
KERARU
|x=p上の格子点の個
数は2(+1) 個
−ħ5, x=p, .···.··., 2p,
2pの直
