Question

ほっともち

2枚目のソを教えて頂きたいです。
3枚目が解答解説なんですが、少し見にくいかもしれないんですけど→の式変形が分からないです…
お願いしますm(_ _)m

P2
16m
P4.
数学ⅡI・数学B
(2)線分QkQk+1 の長さが変化するときの螺旋の長さを考えよう。次のように円弧をつないで
いくと、螺旋をつくることができる。
Don
(I) 平面上に2点 P1, Q1 を, P1Q1=1を満たすようにとる。
(II)kを自然数とする。 2点Pk, Q に対して、点Pから、点Qを中心として時計回りに
90° だけ半径 PkQkの円弧をかき、その終点をPk+1 とする。 そして、直線Pk+1Qk 上の点
Q1 を,点Q に関して点Pk+1 の反対側に線分Q& Qの長さが次の条件を満たすよ
うにとる。
条件
k=1のとき, Q1Q2=
k2のとき,QkQk+1=Pk=1Qk-1
円弧 Pk Pk+1 の長さをbとすると, bg =
サ
Q2 Q3=PgQ, ①
Q3Q4=P2Q2②
Obn+2 = bn+1 + bn
bn+2
= bn+1+26m
4 bn+2 26n+1+bn
bn+2 = 2bn+1 + 26m
b3 = b2+b.
b3=2624
は3項間の漸化式サ を満たすことがわかる。
b1=PP2 = -11b2=P2P=ル
(
の解答群
bs/zba-St
200
+
b4 = 2 · ²/²π- [T
2
= 21.
キ
ク
学
(3)
Q+Qs = P2Q4 _____
MF
-π, b₁ =
12
3
-23-
A
ケ5
-πであり、数列{bn}
2×5.
コユ
bz= PaPa
b4=P4P5
Cn=
bn+2
bn+1-bn
bn+2= bn+1-2bn
313 VERSTAG 018-3-
|+a)
bn+2 = 2bn+1 = bn
bn+2=26n+1-26
(数学ⅡI・数学B 第4問は次ページに続く。)
3130 (0) 1 341330.00 0.7-1.67
ado-d

数学ⅡⅠ・数学B
Ebitz=bneitbn
を
bn+2 - βbn+1=α(bn+1-βbn)
に変形して、数列{bn}の一般項を求めよう。 α, βは
a+β=
aß =
を満たす実数である。
Cn=bn+1-βbm とおくと、数列{C} は
とができる。
Cnbati+//bn.
3項間漸化式
ソの解答群
したがって, bn+1 - βb を B=
である。
チ
すべての項が同じ値をとる数列である
① 公差が0でない等差数列である
公比が1でない等比数列である
等差数列でも等比数列でもない
bn+1
- Bbn
の解答群
On-2
サ
bn+1 - abn を, α =
bn+1 - abn
a+
0n-1
シ
タ
スセ
ツ
シ
a
チ
JEST D 342423
B+ 夕 OBLE
ソ
n
πT
bute=abiti-afbn+βbe.
=(a+β)bnti-debn
TC
X + B = 1₁² -αB = 1
(dB = -1.
Bá
SEHE OT
ANE
|-αより, αだけを用いて表すと
- 24-
ことから,数列{Cn}の一般項を求めるこ
③
00 $10${
(0)
ds
-βより, βだけを用いて表すと
ds +1+as = stad 0
n+1
(1)
④n+2
ツ
である。よって, ① ② の辺々の差をとると、数列{bn}の一般項を求めることができる。
(数学ⅡI・数学B 第4問は次ページに続く。)

示してみよう。
J')-80
2).80
20
み取れば
物
以上
円弧 P4P5の半径は
=3+1=4
よって,円弧 P4P5の長さ 4 は
1/14.4
同様にして,円弧 PkPk+1 の半径について
P4Q4=P4Q3+ Q3Q4 = P3Q3 Q3Q/
a4=
PkQk=Pk-1Qk-1+1
を満たすので,k の値が1増えると、半径は1増え
る。よって, PiQ11より
PkQk = k
であり,円弧PkPk+1 の長さ ak は
ak = 1·k · 2 · π = 12π
k
増えるので,数列{an} は公差が0でない等差数列
円弧PkPk+1 の長さ a は, kの値が1増えると
であることがわかる。
n
Σak =
点P1 から点 Pn+1 までの螺旋の長さ 2.ak は
k=1
-.4.2. π = 2π
n
k=1
= 2.
(2) 円弧 PP2 の半径は
円弧 P2P3 の半径は
円弧P4P5 の半径は
n(n+1)
n(n+1) 1-
2
TC
P₁Q₁ =122 (1)
よって,円弧 PiP2 の長さは
===(Sp
P2Q2 = P2Q1+ Q₁Q2 = P1Q1+ Q₁ Q²
=1+1=2
よって,円弧 P2P3 の長さ 62 は
b2=a2=π
円弧P3P』 の半径は
wp
SVJE
P3Q3 = P3Q2+ Q₂Q3 = P₂Q2+ P1Q1
=2+1=3
よって,円弧 P3P4 の長さ 63 は
b3 = a3 = 27 (x)0 Jel
3
Ag2-
2
よって、円弧 PaPs の長さ 64 は
b=1-5-2-x=2
π
(1) at
P4Q4=P4Q3+Q3Q4=P3Q3+P2Q2
=(9)
TO
同様にして,円弧 Pk+2Pk+3 の半径について
Pk+2Qk+2=Pk+2Qk+1+Qk+1Qk+2
=Pk+1Qk+1+PQk
を満たすので,円弧PkPk+1の長さ bkについて
0k+2=0k+1+bk
すなわち, 数列{bn}は3項間の漸化式
bn+2=bn+1 + bn
を満たす。
bn+2=bn+1+6m を
bn+2-ßbn+1 = a(bn+1 - Bbn)
bn+2 = (a+β)bn+1-aBon
に変形するとα, βは
a+β=1, aβ = -1
を満たす実数である。
Cm=bn+1 - Bbm とおくと
Cn+1 = acn
α=1より. 数列{cn}は公比が1でない等比数列で
ある。TOS
②
よって10
Cn = C1Q7-1
β=1-α より
LEASED
bn+1 - Bbw = (b2-βby) an-1
= {ñ − (1 − a ) ²½ - } œ¹-¹
an-1
(a + 1)an-1
2 n.......... ①
&&&m: 113AA BAOA
"AKSHANA
同様にして,α=1-β より
(1)
1:1
(β+1)^-1
bn+1 - abn
①② より
とすると
(a − ß)b₂ =
{(a + 1)œ”¯¹ − (ß + 1)ß″−¹}
α, βは,xの2次方程式x2x-1=0の解より
a = 1+ √5¸ ß = 1− √5 40
2
2
である。
+30=A0 $3.01
227
ROLL TO" =
(3+√5)(1+√5)-1-(3-√√5)(1-√5)-1
₂= √5.2n+1
JJK:
bk=bk+2-bk+1 より
n
Σ bk =
k=1
第5
(1)(i) 0 <
k=1
-TU
これ
て,
在
Σ(bk+2-bk+1)
=(6g-62)+(bg-6g)+(Ogby)+…..
+ (On-On) + (On+1 − Ox) + (On+2 − Onts)
= bn+2-b₂
=bn+2 -π
n
点 P1 から 点 Pz+1 までの螺旋の長さ 2 be は
k=1
より
(3 + √5)(1 + √5)*+¹ –- (3 — √5)(1 − √5)**¹ -1}x
T
√5.2+3

数列 漸化式 等差数列 等比数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

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ほっともち

遅くなってしまいすみません、ありがとうございます！