基礎問
6
第1章
第 1 章 式と曲線
1 だ円 (I)
次の問いに答えよ.
|精講
(x-5)² + (y+1)2_
(1) C:
25
16
長さ, 点 (8, 1 ) における接線の方程式を求めよ。
(2) 2つの定点A(1, 3), B(1, 1) からの距離の和が4となるような点
P(x,y) の軌跡を求め,それを図示せよ.
RTS
-=1 の焦点の座標, 長軸の長さ,短軸の
〈標準形〉 (横長のだ円)
0+0=1 (a>b>0) で表される図形はだ円で,
だ円については,次の知識が必要です.
〈定義〉
2つの定点A,B からの距離の和が一定の点Pの軌跡, すなわち,
AP+BP=一定(一定値は長軸の長さ)
・中心は原点 ●焦点は (±√²-620 )
もし忘れたら,Pをy軸上にとって三平方の定理
を使うと求められます.
ESE
・長軸の長さ: 2α 短軸の長さ: 26
for ago
●
だ円上の点 (x1,y) における接線の方程式は
xxyy -=1
a²
62
P
a
be
1
DOF
ax
√a²-6²
解答
(1) C: (x−5)²(y+1)²
5²
42 -=1をx軸の正方向に - 5,y軸の正方向に
1平行移動しただ円 C は C':
2² .2
52+4=1
C'について, 焦点は (±3, 0), 長軸の長さは10, 短軸の長さは8
ゆえに, Cについて, 焦点は (8,-1)と(21)
長軸の長さは10, 短軸の長さは8
また, C'上の点 3, 16
3x 1 16
+
25 16 5
1/28) における接線は
5
-y)=13x+5y=25
これをx軸の正方向に 5,y 軸の正方向に-1だけ平行移動したも
のが求める接線だから, 3(x-5)+5(y+1)=25
∴. 3x+5y=35
数学ⅡI・B48
② ポイント
演習問題 1
(2) A, Bの中点は (1, 2) だから
注
求める軌跡はだ円でそれをx軸の正方向に -1,y軸の正方向に ―2
平行移動するとAは A'(0, 1), B は B'(0, -1) に移るので, 移動後の
だ円は1+1/3=1(b>a>0) とおける.
A', B' は焦点だから, 62-d2=1
また, 長軸の長さは4だから, 26=4
① ② より b2=4, ²=3
よって, 求めるだ円は
(x-1)+.
(y-2)²
3
4
グラフは右図のようになる.
注 だ円の中心 ( 焦点の中点) を用意して, それが原点になるように平
行移動すると標準形でおくことができます.
-=1
ALA
だ円の性質は標準形
になおして考える
2
a²
(1) FIX S
y²
+
......1 2√6
2+5
3
...... ②
62
2√6
2- 3
y
2
7
O 1
48
1
正数に対して,直線l:y=-x+k とだ円C:x2+4y²=4
METAS
がある. このとき、 次の問いに答えよ.
(1) 円Cの焦点の座標, 長軸の長さ, 短軸の長さを求めよ。
(2)
とCが接するようなんの値と接点の座標を求めよ.
