Question

ゆ

この（2）の問題について一から教えて頂きたいです。
（なぜ、問題には3.4.1.10なのに、1、ー3、9になるののかというところです。）
よろしくお願いします。

注意
・m P.25.
問31
次の数列{an}の一般項を求めよ。
(1) 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...
(2)3,4, 1, 10, - 17,64, - 179,
考え方 階差数列をつくり,その一般項を求めて基本事項の公式を用いる。
(1) この数列{an}, その階差数列{bn} とすると,{bn}は
解答
1,3,5,7,9,11,
したがって, n≧2のとき
となる。これは,初項 1, 公差2の等差数列であるから
bn=1+(n-1) 2=2n-1
n-1
n-1
an= a₁ + b = 1+(2k-1) = 1 + 2Σk-Σ1
+(2k
k = 1
k=1
=1+2･ 1/12 (n-1)-(n-1)
したがって, n≧2のとき
= 3+
n-1
=n²-2n+2
α=1であるから, an=n²-2n+2はn=1のときも成り立つ。
ゆえに
an=n²-2n+2
(2) この数列{an}, その階差数列を {bn} とすると,{bn} は
1,-3, 9, - 27,81, -243,
となる。 これは,初項 1,公比-3の等比数列であるから
bn=1・(-3)n−1 = (−3)n-1
an = a₁ + Σbk=3+(-3) -1
k=1
n-1
...
k=1
1・{1-(-3)^-1}
1-(-3)
α=3であるから, an
=
1節数列—25
=1/{13-(-3)^-1}
=
n-1
2Σk-
k=1
n-1
・k=1
3+1/(1-(-3)^-1}
1章 数列
{13-(-3)"-'} はn=1のときも成り立つ。
ゆえに
an=1 {13-(-3)^-1}
基本事項 ② の公式は, n ≧2のとき成り立つものである。得られた式に
n=1 を代入した値が初項と一致することを確かめてから一般項とする。

⑦ いろいろな数列
階差数列
数列{an} に対して
bn =
= an+1¬an (n = 1, 2, 3, ...)
として得られる数列{bn} を数列{an}の階差数列という。
例 数列{an} を 1,2,4,7,11,
とする。 この数列の隣り合う項の差は
基本事項
1,2,3,4,:
となり, 等差数列になっている。
この数列 1,2,3,4, ･･･が数列{an}の階差数列である。
②階差数列を用いて一般項を表す式
数列{an}の階差数列を {bn} とすると, n ≧2のとき
③ 数列の和と一般項
数列{an}の初項から第n項までの和を Sn とすると
a1 S1
n-1
an = a₁ + Σbk
k=1
n≧2のとき an=Sn-Sn-1
1
1
k(k+1) k
④ 分数で表された数列の和
分数で表された数列は,各項を2つの分数の差の形に分解することにより、
その和を求めることができる場合がある。
[例]
3
1
k+1
が成り立つから
2-3 3-4 4-5-6-6
+
+
=(1/12/1/2)+(1/8-1)+(1/4-1)+(1/ -/11)
3
6
1,2,4,7,11, "
1 2 3 4 ...
5
5
考え方 階差数
解答 (1) こ
- 1 - 1 - 1
2
6 3
とな

数学b 数列