Question

は

赤線の「正から負に変わらない」ことで条件を満たすのはわかりますが、それが「f,(x)＝０が異なる３つの実数解をもたない」と同値であることがわかりません
解説お願いします
※青チャートⅡ例題210

00000
重要 例題 210 次関数が極大値をもたない条件
(大)
関数f(x)=x-83 +18kx" が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め
基本 203.207
よ。
指針 4次関数f(x) xpで極大値をもつ
x=pの前後で3次関数f'(x)の符号が正から負に変わる
であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考
える。 3次関数f(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす
るとよい。 なお、 解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。
解答
f'(x)=4x-24x²+36kx=4x(x²-6x+9k)
f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の
前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。
このことは,f'(x)のxの係数は正であるから 3次方程式
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。
f'(x)=0 とすると x = 0 または x2-6x+9k=0
よって, 求める条件は, x2-6x+9k = 0 が
[1] 重解または虚数解をもつ
[2]x=0を解にもつ
[1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D≤0
=(-3)2-9k=9(1-k) であるから 1-k≤0
4
よって
k≧1
[2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると
したがって
k=0,k≧1
k=0
X
D
J'(x) + 0
f(x)
k²1
k=0
ya
0
YA
3
極大)
/k=1
2
/6X