Question

さこ

【複素数平面】に関する問題です。

この問題では方程式が円であるための条件を考えるのですが、解説を読んでもよく分からないことがあります。

まず参考書では大体【|z−α|=r】が円であると説明されていてます。
自分の頭の中ではαは固定されていて、その【中心との差】がrである点(z)の集合が円を描いているというイメージです。

・ただこの問題だと最終的に作られた形は|z+β|でどちらが中心なのかよく分からず、二つの変数の和をとっているように見えます。（計算過程は理解できています）
これでどうして円を表していることになるんですか？

・また青部分の【|z+β|の二乗が正の実数であれば円を表す】と書かれていますがどうしてでしょう🤔

『初めは半径が正であることが円である条件なのか』と思いましたが半径がマイナスの値をとろうと二乗なので結果的に正の実数となってしまいます。。

どなたか自分が勘違いしている点を具体的に指摘して、分かりやすい言葉で解説して欲しいです🙇🏻‍♂️

8円･
(ア) 方程式zz +βz + Bz +1=0は,βが[
という条件を満たすとき,円を表す.
(立教大・観光, コミュニティ福祉)
(イ)|z-2i|l=|2z-i|を満たすぇの全体は複素数平面の中のどのような図形になるか調べなさい。
丸。
(ウ) 複素数zが等式|z-1|=2を満たすとき, 複素数 w=1+2iz を表す点 Q は, 複素数平面のど
のような図形上にあるか.
(東北芸術工科大)
|z-a | の形にする
|z-α|2=(z-α) (z-α)= (z-α) (z-a) = zz-az-az+aa
と展開できるが,これを反対向きに使うことで, zz+Bz+B2 の形を | を用いた形に直せる.
z-αの形にすることにこだわり過ぎない z=x+yi(x, y は実数) とおいて, x,yの関係式を
求める方法も忘れずに、計算量が少し増えたりするが, バーが出て来ないというメリットがある.
複素数の足し算、掛け算を操作と見る
すでにこれについては述べているが, (ウ) のような問題に
ついてもこのような見方をしよう.zに複素数の定数を掛けるのは回転。拡大に,複素数の定数を足す
のは平行移動にあたる.
解答量
(ア) zz+B2+B2+1=0
(z+B) (z+B)-BB+1=0
(z+B) (z+B)=BB-1
..
∴.|z+B|=|B|2-1
これが円を表す条件は, [B|2-1>0
∴. |β|>1
(イ) z=x+yi (x, y は実数) とおくと, |z-2i|=|2z-iのとき,
|x+(y-2)i|=|2x+(2y-1)i. 両辺を2乗して,
..
x2+(y-2)=4.x2+ (2y-1) 2
∴.3x²+3y²-3=0
したがって、x2+y2=1 となるから, zの全体は原点 0 を中心とする半径1の円
(単位円) である.
..
【別解】|z-2i|=|2z-iにより, z2i)(z2i) = (2z-i) (2z-i)
zz +4=4zz+1
.. (z−2i)(z+2i)=(2z−i) (2z+i)
∴.|z|2=1
|z|=1
(ウ) zwの変換を図形的にとらえる. zz × (2i)zx(2i) + 1 (=ω)と考
えると, 点zを原点Oを
y4
Y₁
..
中心に90°回転して2倍
をして,さらに実軸方向
に1だけ平行移動して得
られる点がwである.
|z-1|=2は点1を中心
とする円である. この円は,中心と半径に着目すると上図のように移される.
よってQ(ω) は,中心 1+2i, 半径40円 | w-1-2i|=4上にある.
YA
2
B
4
$2
O
2
0 1
C
|z +B|2=|B|2-1が円を表すな
ら左辺 | z + B12 は正の実数.
←la+bil=√a²+62
■lz-2il=22-1/2により.
|z|26|:|z-/|-2:1
であるから, アポロニウスの円の
知識 (13) を使って答えを確認
できる.
[逆手流 (13) で解くと]
w=1+2iz をzについて解い
w-1
て, z=
2i
|z -1|=2に代入して,
w-1
-1=2
∴. |w-1-2i|=2|2i|=4

53 円の方程式
点αを中心とする半径rの円は,|z-α|=r
(z-a)=22
⇒注|z-a|=r←(z-α)
⇔zz-az-az=x2-|α|2 (=実数)

複素数平面 円

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

べーた

左辺は|z-(-β)|としたら分かるんじゃないでしょうか？
つまり-βを中心とした円を表すんですね、
そして円の半径っていうのは中心からの距離ですね、
距離ということは半径は正の数であり、かつ実数です
(複素数の場合は長さの比較(大小関係)という概念がないから距離という概念もない)
だから右辺は半径の二乗表しますが、半径が実数なので左辺も実数であり、二乗したものは正の数です(複素数の場合は二乗してマイナスになることがあるからゼロ以上という条件が出てくるんですね！)
少しややこしいので分からなかったらまだまだ聞いてください！

さこ

なるほど中心は−βなんですね。。

(複素数の場合は長さの比較(大小関係)という概念がないから距離という概念もない)

→それは分かります。つまり半径の二乗の虚部がゼロである必要があるということですよね🤔
でも『二乗したら正の実数であればいい』が『半径はマイナスの値を取ってもいい（虚部が０であれば)）』と言っているようでよく分からないです。。

べーた

そしたら二乗の式のルートを取ってみましょう
左辺は|z-(-β)|、右辺は√|β|^2-1左辺は絶対値がついていますからもちろん右辺は正の数です。
つまり元々の二乗してある式の時点で半径は正の数にしかならないということですね
この辺は同値変形とかの話もあるので苦手だったら集合と命題の分野を詳しくやって見るのもいいかもです！

さこ

理解できました。ありがとうございます🙇🏻‍♂️