【数学】
x2y+1-y2=2023 を満たす素数x,yの組
を求めよ.
【解答】
2023 は奇数であるから,
x2y+1-y2=2023
(1)
を満たすとき, x 23 +1 と y2 の偶奇は異なる. つ
まり, xとyの偶奇は異なる.
偶数かつ素数は2のみであるから, x,yのど
ちらか一方が2である.
(I) y=2のとき.
① に用いると,
x=2027.
2027 は素数であるから, これを満たす素数
x は存在しない。
(ⅡI) x=2のとき.
① に用いると,
22y+1-y2=2023.
・②
yは奇数かつ素数より y ≧3であることに
注意する。
まず, y=3のとき,
22y+1-y2=27-32
=119
り、②は成立しないから不適.
次に,y=5のとき,
22y+1-y2=211-52
=2023
より, ② は成立する。
最後に, y ≧ 7 のとき
22y+1 -y2>2023
が成立することを示す. そのため,nを7以
上の自然数としたとき,
22n+1 > n² +2023
が成立することを数学的帰納法で示す.
(i) n=7のとき.
22n+1=215=32768,
より, ③ は成立する.
(i) k7として,n=kのとき,
22k+1 >k2+2023
n²+2023=49+ 2023=2072
が成立すると仮定する.
このとき,
22(k+1)+1_{(k+1)^+ 2023}
=22k+3_(k2+2k+2024 )
=4.22k+1-(k2+2k+2024 )
> 4(k² +2023) − ( k² +2k+2024)
=3k²-2k+6068
>0
=k(3k-2)+ 6068
≥7.19+6068
きより、
22(k+1)+1> (k + 1)' + 2023
を得る. これは, ③がn=k+1のときも
成立することを意味する
以上 (i), (ii) から, n7のとき,
JJ 2²n+¹>n²+2023
が成立することが示された.
これより,y≧7のとき,
223 +1 - y2 > 2023
3
となり,②
(I), (II) より 求める素数x,yの組は,
(x,y)=(2,5).
を満たす素数yは5に限られる.
(
