基
90
基礎問
51 数列関数の極限()()別リアル)
第4章
数列{an} は, a1=1,(n+2)an+1=nan (n=1, 2, ...) をみたしてい
る.
(1) 一般項an をnで表せ.
精講
(②2) Sn=a をnで表せ.
k=1
(3) lim (S.)* * *³ *. *ÆL, lim (1+1)" = e
n→∞
118
∴.
典型的な極限の問題です.
(1) は数学Bの範囲ですが, 漸化式のなかでは,難しいほうに入りま
す。(数学ⅡI・Bの基礎問では扱っていません。)
そこで,次のパターンを覚えておくことになります.
(an+1=f(n) an (f(n): 分数式) 型漸化式の解き方〉
meを用いてよい。
Qk+1=f(k) として,kに1,2,... n-1 を代入して辺々かける. (ただし, n≧2)
ak
(3)のただしがきにある「lim (1+1/2)^
1\n
71-00
代表格ですが,大切な公式です。 使い方にコツがあるので、ポイントをよくみ
=e」 は受験生が正しく使えない公式の
解答
(1) (n+2)an+1=nan より ak+1. k
ak
k+2
k=1,2,.., n-1 を代入して, 辺々かけると
n≧2のとき,
「い合わせるため
an 1.2.3
an 3 4 5
a₁ az
an
2
=
a₁ n(n+1) よって, an=-
これは,n=1のときも含むので,
かけ終わりかけ
初めより, n-1≧
これから n ≧2
辺々かける
n-2n-1
n n+1
1
n(n+1) (a₁ = = ² * y)
注
1
an n(n+1)
(別解)(かなり速いのですが、理解しにくいかもしれません)
(n+2)an+1=nan の両辺に n +1 をかけると,
(+2)(n+1)an+1=(n+1)nan
ゆえに, 数列{(n+1)nan) は,初項 2.1.α=1,公比1の等比数列.
よって, n(n+1)an=1
(2) (数学ⅡⅠIB 119
S.-2A(+1)=2(+1)=1-1-1
k+1/
(3) S." (7)-(+1)^-{(1+1)}'
n+1\-n
(S)"=
=
kik(k+1)
-1
.. lim (S.)-lim ((1+1)=²¹=1
e
71-00
ポイント
演習問題 51
72-00
..
-N-1
1
an n(n+1)
(別解) (S)"=(1-1)において,(n+1)=N とおくと,
=(1+1)=(1+1/2)*(1+2)^'={(1+1/4)}*(1+1)^
n→∞ のとき, N- ∞ だから,
lim (S.) - Jim ((1+)*(¹+¹==
N-∞
NT-CY
lim (1+1)=e
A ±00⁰
(1) lim
(△はすべて同じもの)
次の極限値を求めよ.
2n
(数学ⅡI・B 64 指数の計算)
この公式は「△→±∞」で成りたちます.
n
O
91
13
(2) lim (1+1/12 )
2n
7118
第4章
2
