Question

くう

4ページ目の"ク"についてです。
求め方が、解答の波線のような式になる理由を教えていただきたいです🙇‍♂️
少し長い問題なのですが、よろしくお願いします。

第3問~第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点20)
以下のように,歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返して
る。 歩行者と自転車の動きについて, 数学的に考えてみよう。分
自宅を原点とする数直線を考え, 歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ
なす。数直線上の点の座標がy であるとき、その点は位置y にあるということに
する。また,歩行者が自宅を出発してからx 分経過した時点を時刻xと表す。歩
行者は時刻 0に自宅を出発し,正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は
時刻に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。 自転車が歩行者に
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。 その後, 歩行者は再び
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、 自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。 自転
車は自宅に到着すると, 1分だけ停止した後、 再び毎分2の速さで歩行者を追い
かける。これを繰り返し, 自転車は自宅と歩行者の間を往復する。 0800
x=a を自転車が回目に自宅を出発する時刻とし, y = b" をそのときの歩
010 188.0 8.0
行者の位置とする。
OEREA 018.0 OPTECTED
a100 TRE 0888.0 C
ECOD
exco
(1) 花子さんと太郎さんは,数列{an}, {bn}の一般項を求めるために, 歩行者
と自転車について,時刻xにおいて位置にいることを0を原点とする座標
20 ATAP Rosa 08.1
数学II・数学B 第4問は次ページに続く。)
0
平面上の点(x,y) で表すことにした。
BIOP
501020
TIBA.0 S180 8084.0 508
T28.0 8.00881.0 80.
DERAD AERA O SER.O TEGO
200 120.000.0 80.00
8380 3888,0 8408.01.1
00.0 8804.0 selo 100.00000.0
tep OCTOP:0 STRAITEOOTED 0.000
0 PTO BITE.0 e.r
OS
IS
SS
ES
a.s
8.5
00000 9800.0 RB03.00808825005806.00 1
0000 900000yennine
が成り立つことがわかる。まず
b bi
を得る。この結果と
2
である。
10
a2=
a=2,61=2により, 自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転
車の位置を表す点の座標は (2,0)であり,そのときの時刻と歩行者の位置を
表す点の座標は (22) である。 また, 自転車が最初に歩行者に追いつくとき
である。よって
の時刻と位置を表す点の座標は
H+*D
a 1
イ
. b2=
(1#TAGION
6
花子: 数列{an}, {bn}の
ウ
ア
a2
ア
一般項について考える前に,
ア
(8)
太郎:花子さんはどうやって求めたの?
ア の求め方について整理してみようか。
花子 自転車が歩行者を追いかけるときに, 間隔が1分間に1ずつ縮まっ
ていくことを利用したよ。
太郎 : 歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して,交点を計
は算して求めることもできるね。
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)

自転車が回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座
標は(am, 0)であり,そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
(am, b,)である。よって,”回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追い
つくときの時刻と位置を表す点の座標は, an, bn を用いて,
6
I
エ
an
人の出自自
bn+1
SECTIO
y
bn
0
オ
an + bn
2ax+bn
オ
と表せる。
an
bn
1437
2bn
Ⓒan +2b₂
an+1
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
x
2
(5)
8
3 bn
数学ⅡI 数学B 第4問は次ページに続く。)
2 an
3an
LUSHJER JAKSANTER
以以上から、数列{an},{bn} について, 自然数nに対して、 関係式
an+1 = an + カ
AME
bn+1 = 36 +
(2) 2000 -
が成り立つことがわかる。まず,b1=2と②から
ケ
(n=1,2,3,…)
を得る。この結果と, α = 2 および① から
(n=1,2,3,…..)
190b₂
ケ
がわかる。直線OA を
=
an= コ
⑩ 3-1 + 1
⑧
②3-1 + n
6 2.3-1
1
④ 3-1 +2 寄り
コ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。
2.3㎖-1+n-1
刻は, x=
@2.3"-1+n²-1
ク
1bm+
シスセである。
キ
13*8756490
011/12 · 3² + 1 1/1/201
© 21/1/201
1
2
5
15
2
・3"+n-
3" + n²
• 3-1
1
ol
• 3-1 +n·
Bas
2
1
2
(2) 歩行者がy=300の位置に到着するときまでに, 自転車が歩行者に追いつく
サ
回数は
サ 回目に自転車が歩行者に追いつく時
回である。 また、
2
3
・3-1 +n²-
(1-A) 2)

D
目の
()
-2)
みて,
100)
重さが
面積とし
[研究」
tokyo..
問題文で省略されていた部分について補足する。
②の立式の途中計算は次のようになる。
S100 xf(x) dx
APEL
300
= 0 (ax² + bx) dx
|100
+x≤8)=40
1300
a
x < 0 = [ 2² 2³² + 1/2x²] 100
あり、かに
=
= 1 (3003-100%) + 1/8 (3002-1002)
908-500
= (3³ · 106 — 106) +
-
.
+ b
(3²-104 — 10¹)
= 26 10°a + 4.10%600=50
また、③の確率密度関数の立式の際は,100 ≦x≦
300 において f(x) ≧0 を満たすことの確認が必要
A0(I + MA
であり,これは
⑩00円
(100)=3・10-3+ 11・10-3 = 8・10-3 > 0
CF(300)-9-10-3+11・10-3= 2・10-3 > 0
とf(x) が1次関数であることから確認できる。
第4問
(1) 歩行者と自転車の時刻と位置y を表す点の座標
(x,y) を考える。 自転車が回目に自宅を出発する
時刻を x = an, そのときの歩行者の位置をy=bn
とする。
自転車が最初に自宅を出発するとき,時刻は2で
あるから
1-3 (0A + 08-90-A0
01=2,61=1.2=2
最初に自転車が歩行者に追いつくのにかかる時間は
2 (2-1)=2(分間) (31)
よって,自転車が最初に歩行者に追いつくときの時
刻と位置を表す点の座標は
x=2+2=4,y=2.2=4
より (4,4) である。
次に,自転車が最初に自宅に戻るのにかかる時間
は
42=2 (分間) A
であるから、 自転車が2回目に自宅を出発するとき
の時刻 2 は
a2 = 4 +1 + 2 +1 = 8
自転車が2回目に自宅を出発するときの歩行者の位
置 by は
b2=4+ 1 (2+1) = 7
YA
bn+1
2bn
bn
O
b₂
4
自転車が回目に自宅を出発するときの自転車の
座標は (a,0), そのときの歩行者の座標は (an, bn)
である。 n回目に自転車が歩行者に追いつくのにか
かる時間は,自転車が回目に自宅を出発するとき
の歩行者との位置の差 by と追いかけるときの速さ
の差より
よって
b₁ 2
bn÷(2-1)=bn
よって, n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行
者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は
ⓒx=an+bn,y=bn+1.6=26
より (an+bn, 26 ) である。
だから
2
②より
a1
I
I
an CODE
自転車
81/
4 5 7 A2 x
1
I
I I -0
I
T
I
I
bn+1=3bn+1
b1=2より, 数列
I
I
bn 1 bn
10 - T
an+1 = an +2bn +2
時刻 +1 の歩行者の位置は
an+bm
自転車が回目に自宅に戻るのにかかる時間は bn
で, 自転車がn+1回目に自宅を出発するときの時
2003
刻は
歩行者
2bn +1 (bn+1)= 3bn +1
an+bn+1+bn+1 = an +2bn +2
ba+ + + = 3 (0x + 2)
=3
歩行者
自転車
1
an+1 X
SIMP
初項:01+1/21=2+1/2/3=12/2
①
2
{b₂+ + 2 } 1* 1801-120) (0)
は