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重要 例題 85 チェバの定理の逆
(1) △ABCの辺BC上に頂点と異なる点Dをとり, ∠ADB, ∠ADCの二等分
解答
線が AB, AC と交わる点をそれぞれE, F とすると, AD, BF, CEは1点で
(2) 平行四辺形ABCD内の1点Pを通り, 各辺に平行な直線を引き, 辺AB,
"
交わることを証明せよ。
CD, BC, DAとの交点を,順 に Q, R, S, Tとする。 2直線QS, RT が点
で交わるとき, 3点 0, A, Cは1つの直線上にあることを示せ。
指針 (1) ADB において,∠ADB の二等分線 DE に対し
△ADC における ∠ADCの二等分線 DF についても同様に考え、チェバの定理の逆
を適用する。
(2) APQSと直線 OTRにメネラウスの定理を用いて
あるから
ここで、平行四辺形の性質から PT, TS, QR, PR を他の線分におき換えてメネラ
ウスの定理の逆を適用する。
DC CF
FA
DA AE
DB EB' DA
an
(1) DE, DF は, それぞれ ∠ADB, ∠ADCの二等分線で | 内角の二等分線の定理
(1)
A
AE BD CF
EB DC FA
QR PT SO
RP TS OQ
●
=
DA BD DC
DB DC DA
ゆえに
= 1
JALA
よって, チェバの定理の逆により, AD, BF, CE は1点
で交わる。
El Ma
BC AQ SO
CS ABOQ
/P.145,146 基本事項
=
DA
AE
DB EB
TIE
(2) APQS と直線OTR について, メネラウスの定理によ (2)
E
り
=1
QRPT SO
RP TS OQ
=1
9894
19:9A
PT=AQ, TS=AB, QR=BC, PR=CS であるから
4.1
QA BC SO
=1
AB CS OQ -1094-1994
すなわち
よって, メネラウスの定理の逆により, 3点 0, A, Cは
1つの直線上にある。
=1
B
E
4
BS
D
P
C
三角形
の交
理の
R
0, A, C
△QBSと3点
に注目。
辺
E
2個目の赤いところは並び替えただけです