Question

ka

(3)の答えの答えになるまでの途中式をお願いします。

基礎問
260 第8章 ベクトル
167 球と直線
座標空間内に,球面 C:x'+y^+z'=1 と直線があり、直線
1 は点A(a, 1, 1) を通り, z=(1,1,1)に平行とする.また、
α≧1 とする. このとき, 次の問いに答えよ.
(4)
(1) Z上の任意の点をXとするとき,点Xの座標を媒介変数tを
用いて表せ.
(2) 原点Oから1に下ろした垂線とlの交点をHとする.Hの座
標をαで表し, OH をαで表せ.
(3) 球面Cと直線lが異なる2点P, Qで交わるようなaのとり
うる値の範囲を求めよ.
(4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ.
精講
点A(xo,yo, zo) を通り, ベクトル=(p,q,r)に平行な直
線上の任意の点をXとすると,
tu
OX = (xo,yo, zo)+t(p,q,r)
と表せます。
(2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がαと
tで表せます. そのあと, OH･Z = 0 を利用して,t
をαで表します。
(3) 球面Cと直線lが異なる2点で交わるとき,
OH < 半径
が成りたちます。
POQ=90°をOP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです.
それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから
です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く
なります。
解答
(1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t)
=(t+a, t+1, t+1)
.. X(t+a, t+1, t+1)

Hは1上の点だから, (1)を用いて
DH=(t+a, t+1, t+1)と表せる。
ここで, OH⊥u だから,
0Hz=t+a+t+1+t+1=3t+a+2=0
t=-.
a+2
3
このとき, t+α=
t+1==a+1
3
H(24-2, g+1, _g+1)
3
3
2a-2
3
よって, H
また、OFF= 1/31(a-1)+1/18(-4+1)+1/(-a+1) 2
9
=(a-1)2
a≧1 だから, OH=¥g-la-1|=√6
3
:. 1≤a<1+¹
3
9
(3) OH<1 #₺³5, √6 (a−1)<1
だから, 3
√6
2
√6a-1|=√(a-1) 4√²=\A\
3
6
√(a-1-1/2
(4) ∠POQ=90° だから, OH=
【仮定に α≧1 がある
1
√/2
a=1+√3
2
33 2点間の距離の公式
1
45%
H
pl
●ポイント中心 (a,b,c), 半径rの球面の方程式は
1
261
H