青チャートの図形と方程式の質問です。黄色線1つ目って書く必要ありますか？黄色

数学

高校生

3年弱前

青チャートの図形と方程式の質問です。黄色線1つ目って書く必要ありますか？黄色線2つ目は何故その不等式になるんですか？何故aが-の値になっちゃダメなんですか？

基本例題 85 座標を利用した証明 (2) △ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。解答 ∠A を最大角としても一般性を失わない。このとき, ∠B <90° ∠ C <90° である。 ■ 直線BC をx軸に、辺BCの垂直二等分線を軸にとり, △ABCの頂点の座標を次のようにおく。指針 p.117 基本例題 72 と同じように、計算がらくになる工夫をする。座標の工夫 ①1 座標に0を多く含む ②2 対称に点をとるこの例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分数が現れないように, A(2a, 26), B-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。なお,本問は三角形の外心の存在の, 座標を利用した証明にあたる。 A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0) B -=-1より -x+· -2c N ya A K OL A(2a, 2b) m=- ただし a≧0,6>0,c>0 また, ∠B <90°, ∠ C < 90° から, a≠c, aキーc である。更に、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL,M,Nとすると, L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, b) と表される。辺ABの垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線AB の傾き b であるから,mo a+c は b a+c a+c b よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は a+c y-b=- -(x−a+c) b M C 2cx a+c a²+6²-c² すなわち y=- x+ b 辺AC の垂直二等分線の方程式は、①でcの代わりに -c とおいて y=- a-c a2+62-c2 b b 2 直線 ① ② の交点をKとすると, ①, ② のy切片はともに a²+62-2 b であるから K(0, + B-²°) 点K は, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから, △ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。 00000 基本 72 注意間違った座標設定例えば, A(0,b), B(c, 0), C-c, 0) では, △ABCは二等辺三角形で、特別な三角形しか表さない。座標を設定するときは, 一般性を失わないようにしなければならない。証明に直線の方程式を使用するから分母=0 とならないように,この条件を記している。 0-26 b -2c-2a a+c 点N (a-c, b) を通り, 傾きー a+c b の直線。辺ACの垂直二等分線は, 傾き b a-c の直線AC に垂直で,点M(a+c, b) を通るから, ① でcの代わりに -c とおくと,その方程式が得られる。 133 3章 13 直線の方程式、2直線の関係

回答

3年弱前

★1つ目について
　saさんがご説明されている記述で問題はないと思います。ちょっとだけ補足をさせていただきます。

　三角形に関する一般性を失わないとは、「全ての三角形について考えられる」と同義です。

　三角形の成立条件は、3つの内角の和が180°となること。ここでは、仮定で、三角形の3つの内角について、最大角を１つ定めています（角A）。この最大角が90°を越えようが超えまいと、他２つの内角はそれぞれ90°未満でなければ三角形はできません。
　今回の証明の仕方は、平面座標系を使うため、平面上全ての座標について合理性を確かめる必要があります。なので、1パラグラフの文章は書いておくと親切です。

★2つ目について
　a≧0は、sa3さんがおっしゃっているように「考えやすいから」が、妥当でしょう。そうお話ししているのは、返BCをx軸にセッティングした際、点Aがy軸に関して対称性があるので、aはどんな値でも構いません。
　ですので、「a≧0」あるいは「BCを横軸にした場合、点Aは縦軸に関して対称で任意の値とする」といった表記があると、イメージが伝わりやすくなります。

ℎ 3年弱前

こんなに丁寧にありがとうございます😭💞分かりやすいです‼️

ℎ 3年弱前

わざわざa>＝0を書く必要ってありますか？aが−か＋かで計算式が変わってくるんですか？

F 3年弱前

平面座標系を使うので、a≧0などの表記がないと、4つの象限で各辺の垂直二等分線の交点が交わることを考えなければ、説明不足になってしまいます。

また、a,b,cの値を正負ごっちゃ混ぜにすると、計算仮定で考えがこんがらがってしまいますケースが出てきます。
例えば、bは任意の定数、cは正の値とした場合、横軸で点Bを設定する際B(b,0)としますよね？
このbは、直交座標で描くとb>0と先入観を持って進めてしまいがちですが、実際にはbは正負両方を表すのでB(|b|,0)と設定して、考えなければなりません。
こう設定してしまうと、場合分けが必要になってきてしまい、1つの定数を曖昧にするごとに2度手間、4度手間になってしまい、余計な時間を使うことになり、非常にもったいないです。

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3年弱前

1つ目に関しては書く必要があるでしょう。2つ目の黄色の下の行にあるように、90°より小さいことから条件を作っています。しかもこの条件は分母が0出ないことを示す大切な条件なので書かないと減点をくらうでしょう。
2つ目については知識不足で申し訳ないですが分かりません…。私が考えつくのはマイナスではいけない、というより正の座標としてしまう方が計算が楽になるからという事ですかね。

ℎ 3年弱前

ありがとうございます！！

何の分母のことですか？

どこの過程でで計算が楽になるんですか？

sa 3年弱前

例えば直線ABの傾きの分母はa+cです。もしこれでa=-cが成立していたら分母が0になってしまいます。ですからa≠-cを調べなければいけません。それを調べるためには90°より小さいという条件が必要なのです。遠回りに必要になってくるんですね。
mやnの座標で、cは+か-かで足したり引いたりしていますよね。これでaのエックス座標も-だと-a-cとか、-a+cとかなったりします。まあマイナスで割れば元に戻るじゃん、など思ったりもするでしょうが、やっぱり無駄な操作は減らすに越したことはありません。この問題の場合、aは0以上でなくてはいけない、ともaは0未満でなくてはいけない、とも書かれていませんが、楽なのは0以上にしてしまう方だと思います。