Question

ぷりん🍮

整数の性質
まず(3)の線で引いたところが分かりません。
右のヒントのところを見てもどうしてこの変形をしているのか分かりません

472
基本例題106 約数の個数と総和
(1) 360 の正の約数の個数と,正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。
(2) 慶応大]
(2) 12"の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
(3)
15個である自然数n を求めよ。
56の倍数で,正の約数の個数が
指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。
自然数Nの素因数分解が N = pager...... となるとき
正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)......
E*** (1+p+p²+...+pª)(1+q+q²+···+q')(1+r+r² + ··· + pc )......
(1) 上の Nが2を素因数にもつとき,Nの正の約数のうち偶数であるものは
2°•q°•yc......(a≧1,b≧0,c≧0, …;g, r, … は奇数の素数)
-1+ の部分がない。
『1
- p, q, r,
【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
解答
(1) 360=2.32･5であるから,正の約数の個数は
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
「!」
と表され,
その総和は (2+2²+…+2ª)(1+q+q²+···+q³)(1+r+r²+...+rº)...
を利用し, nの方程式を作る。
(2)
(3) 正の約数の個数15を積で表し, 指数となる a,b,
の値を決めるとよい｡
15 を積で表すと, 15･15･3であるから, nは15-11-1または p-13-1の形。
の形で表される。
468 基本事項
p14 または p q (p, g は異なる素数)
ｶﾞqrの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) (p,g,r は素数)
15 (=15･15･3) であるから,nは
の正の約数の個数は
は素数。
(2+22+2)(1+3+32)(1+5)=14･13・6=1092
(2) 12"=(2･3)"=227.3” であるから, 12" の正の約数が28個 (ab)"=a"b", (a)"=d"
であるための条件は
(2n+1)(n+1)=28
のところを2m n とし
2n²+3n-27=0
ゆえに
(n-3)(2n+9)=0
よって
nは自然数であるから n=3
(3)
素数のうち、
偶数は2の
みである｡
積の法則を利用しても求め
られる (p.309 参照)。
たら誤り。
15･1から
5.3 から
<p=2, g=7
15-11-1
-13-1
は 56の倍数であり, 56=2.7であるから, nは²の形 14 の場合は起こらない。
で表される。したがって, 求める自然数nは
n=24.72=784
EE
a
1
N
A
1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

CHARTに書いているように、約数の個数は、各素因数p,q,r...の指数a,b,c...に1を足したものどうしをかけることで求められます。
今、正の約数が15個だということは、指数に1を足したものの積が15だということです。
素因数が1つしかない場合、すなわち素数pのa乗の形で表せるとき、a+1=15よりa=14になります。
素因数が2つの場合、すなわち素数pのa乗×素数qのb乗の形で表せるとき、(a+1)(b+1)=15
これを満たすa+1とb+1の組み合わせは(1,15)(3,5)(5,3)(15,1)ですが、a=0やb=0ならば0乗、つまり1をかけているだけとなり、結局素因数が1つの場合と同じになります。また、aとbに大小関係をつけても一般性を失わないので(3.5)すなわちp²q⁴の形のみになります。
素因数が3つのとき、同様に(a+1)(b+1)(c+1)=15で、先程の議論と同様にa,b,cはa<b<cを満たす1以上の自然数とします。すると、最小でもa=1,b=2,c=3となり、2×3×4=24なので15を超えてしまいます。よって、素因数が3つ以上である場合はありえません。

ぷりん🍮

丁寧にありがとうございます！
そういうことだったのか！としっかり納得できました！

Answer 2

ゆう

こんな感じです。
これは解答ではなく説明なので、問題を回答する時は｢同様にして〜｣より下から書いてください。

ぷりん🍮

例を出しながら答えてくださりありがとうございます！
ベストアンサーは先に回答して下さった方を選ばせていただきました💦
でもすごいわかりやすかったです！