Question

Hi（受験生）

赤下線部は公式のようなものですか？
なぜこのように表せるのですか？

基礎問
196 第7章 数
128 3項間漸化式
a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an)
がある.
(1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。
(2) an を求めよ.
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり
ます。
(I) α=β のとき
an+2=(a+β)an+1-aBan より
an+2-dan+1=B(an+1 - aan)
an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban)
①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので
an+1-aan =β"-1(a2-aas)
......1'
......2'
精講
同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas)
①-②より,
(B-α)a=B-1 (a2-aas) a" (az-Bar)
B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba)
... an=
β-a
注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α=β のとき
an+2-αan+1=α(an+1-aan)
∴an+1-adn=an−1 (a2-aas)
つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列.
③ の両辺を α7+1 でわって
n≧2のとき,
よって,
an
n-1
k = 1 Q
ai
a
an+1
an
ak+1 ak
k+1
-=(n-1), a ₂-1
1
n-1
an
a2aas
Q²
a₂-αa₁
q²
・③

42=(a+β)an+1-aBan
(1) an+2=
与えられた漸化式と係数を比較して,
α+β=-1, aβ=-2
(2) (α,β)=(1,-2)として
. (α,β)=(1,-2), (-2, 1)
an+2an+1=-2(an+1-αn)
an+1- an = bn とおくと,
bn+1=-26
n-1
an= a₁ + 2(-2)*-1
k=1
また, b1=a2-a1=2 ∴.bn=2(-2)-1
n≧2のとき,
解
=2+2••
これは,n=1のときも含む.
(別解) (α,β)=(-2, 1) として
演習問題 128
ポイント
1-(-2)^-1=12/2(4-(-2)^-1)
an+1
答
an+2+2an+1=an+1+2an
‥. an+1+2an=a2+2a1 よって, an+1=-2an+8
8
2
したがって, an-
8
-3---2(a₂-3). a₁-3--3
an-
8
3
2
ay
|122
(−2)²-1
|123
an-2/23(4-(-2)^-1)
197
an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式=pt+g の2
解α, βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸化
式にもちこむ
粒列{an}がある.
第7章

Answer 1

ファジー

隣接三項間の漸化式です。
それが書けないとその先が進まないので、覚えた方がいいと思います。

Hi（受験生）

隣接三項間とはan、an+1、an+2のように3つの数列が存在するということですか？

ファジー

そうです