重要 例題 45 因数分解ができるための条件
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x2+3xy+2y²2-3x-5y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k
の値を求めよ。 また, その場合に,この式を因数分解せよ。
[東京薬大]
基本44
指針与式がx,yの1次式の積の形に因数分解できるということは,
(5)=(ax+by+c) (px+qy+r)
}(0-1)(-x)(0-5)
の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで
は、与式をxの2次式とみたとき, =0とおいたxの2次方程式の解がyの1次式で
なければならないと考えて, kの値を求めてみよう。
ポイントは,解がyの1次式であれば、 解の公式における
方式 [(整式)の形の整式] となることである。
解答
P=x2+3xy+2y2-3x-5y+kとすると
P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+k
P=0をxについての2次方程式と考えると, 解の公式から
_ −3(y−1)± √√9(y—−1)²—4(2y²—5y+k)____
x=
2
___ -3(y-1)±√y²+2y+9-4k
2
Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには,この解がy
の1次式で表されなければならない。
このとき
すなわち
よって
よって,根号内の式y'+2y+9-4kは完全平方式でなければな
らないから, y2+2y+9-4k=0の判別式をDとすると
D
k=2
1=12-(9-4k)=4k-80 ゆえに
4
-3(y-1)±√(y+1)^_-3y+3±(y+1)
x=-
2
x=-y+2, -2y+1
P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}
=(x+y-2)(x+2y-1)
2
内がyについての完全平
x²の係数が1であるから,
xについて整理した方がら
くである。
この2つの解をα, βとす
ると, 複素数の範囲で考え
てP=(x-α)(x-β)
と因数分解される。
<完全平方式
⇔=0が重解をもつ
判別式D=01
(y+1)^2=y+1である
が,± がついているから,
y+1の符号で分ける必要
はない。
77
と、(与式)=(x+y+a)(x+2y+b)
① は、xとyの恒等式であり,右辺を展開して整理すると
(与式)=x²+3xy+2y^+(a+b)x+(2a+b)y+αb となるから,両辺の係数を比較して
a+b=-3, 2a+b=-5,ab=k
これから,kの値が求められる。
(1)
2章
検討 恒等式の性質の利用
x2+3xy+2y²=(x+y)(x+2y) であるから、与式がx,yの1次式の積に因数分解できるとする
① と表される。
(2) 2x²-xy-3y2+5x-5y+k
9 解と係数の関係、 解の存在範囲
180
練習
次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように、 定数kの値を定めよ。
の
945 また,その場合に、この式を因数分解せよ。
(1) r²+ry-6y²-x+7y+k
(3
