Question

イソ

2次試験数学の微分積分の問題です。この問題の(１)の微分の仕方が分かりませんでした。分かりやすく教えて欲しいです🙇‍♀️

4 実数全体で微分可能な関数f(x) が
f(x) = ex
= e · ( ½ + x ² + ["²e²f (dt)
ferfodt)
を満たすとする。ただし,eは自然対数の底とし,以下では, lim xex=0を用
x →∞
いてよいものとする。
(1) f(x) の導関数f'(x) を求めよ。 また, f(x) を求めよ。
D) (S+ D) (E+)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだか

e^-xと残りの部分で、積の導関数として見ればいいかと。
また、
d/dx ∫[a→x]f(t)dt=f(x)
は教科書にもあると思うので、忘れていたら見直しておきましょう。
一応全部やっておきましたが、必要なところだけ取ってください(｡･ω･)ﾉﾞ
(前半)
f'(x)
=-e^-x･(x²/2+∫[0→x]e^t･f(t)dt)
　+e^-x･(x+e^x･f(x))
=-f(x)+xe^-x+f(x)
=xe^-x

(後半)
Cを積分定数とする。
f(x)=∫f'(t)dt
=∫te^-tdt
=(-1-x)e^-x+C
与式よりf(0)=0なのでC=0
∴f(x)=-(x+1)e^-x

イソ

とてもわかりやすいです！ありがとうございました。