Question

イソ

2次試験数学の二次曲線の問題です。解答見ても何をしているのかよくわかりませんでした。誰か溶ける人がいたら、少しわかりやすく解説して欲しいです。(4)までありますが、(3)までお願いします🙇‍♀️‪‪💦‬

1枚目：問題
2枚目・3枚目：解答

xy平面上で双曲線Hと放物線Cが、次の方程式で与えられている。曲
4
H: x2 - y2 = 1, C:y=12x2 +6 (ただし,a,bは実数,a> 0)
HとCは,第1象限においてただ一つの共有点をもち, 点P で共通の接線ﾑ
をもつとする。このとき,HとCが第2象限にただ一つもつ共有点をQとし,
HとCが点Q でもつ共通の接線をとする。
(1) 点Pの座標 (s,t) と 6 を, a を用いて表せ。
(2) 接線の方程式を, α を用いて表せ。
(3) 放物線Cと接線で囲まれた部分の面積Sを, a を用いて表せ。
(4) aが正の実数を動くとき, 面積 S の最小値を求めよ。

4 解答 (1) x²-y²=1 ⇒y= ± √x²-1
Ada
f(x)=√x²-1 (x≧1),g(x)=x2+6 とおくと
ƒ'(x)=√x²_1¹ g'(x)=ax
2
点P(s,t) が y=f(x) と y=g(x) の共有点であるから, f(s)=g(s) よ
り
9
√√s²-1=2s²+b •1
(1+x) — = —
また,y=f(x) と y=g(x) は点P で共通の接線をもつから,
f'(s) =g'(s) より

また
また
t=√s²-1.3
a> 0, s>0であるから, ②より
よって
したがって, ③ より t=
S
2
s²-1
y
s²=
= 1/1/2+1
a
S=
=as
1
a
ds
du
b=√√s²-1-2 s² =
2
=
0
+1=
√a²+1
a
S
.....(2)
a
(4) d²=u とおくと
3
a²+1
a²
a
(2) 接線の方程式は、 傾きが αs=√²+1 であるから
√a² +1
=√√a²+1/x--
よって
y=√√a²+1x-a
HADDE
(3) 放物線Cと接線ﾑ は x=sで接しているので
(a²+1)√a²+1
3a²
a
1
a
= a[ 3² (x-s)³] = $³
0
3
(u.
2²x²+b=(√²+1x-a)=(x-s) ²
S=
a
52−1=1
√a²+1
a
a
a 2 a²
放物線Cと接線で囲まれた部分はy軸に関して対称だから
s=2f"{@x²+b=(√²+1x-a)}dx=a
a)}dx=af"*(x-s)²dx
(*) <HESHTOROSTI
JONAS
a²+1 1-a²
2a
CX7
(答)
a
· ()
···(*) T
(X)3=(X)X
XXX
FGX24+ Y=(XUY
(u+1)√/u+1 = {(u+1) ³u²¹ (u>0)
3u
3