Question

豆腐

フォーカスゴールド数Ⅲ練習17の複素数平面についての問題です。
写真は1枚目から問題、模範解答、私の解答です。
私の解答だとどうして解けないのか分かりません。
この方法では解けないのでしょうか、解けるとしたらどのように解くのでしょうか。教えていただけると嬉しいです🙇‍♂️

(1-√3i)
(1−i)
(1)
(2) (1+in+(1-√3 i)=0 を満たす自然数nはどのような自然数か.
p.70 16
19

(2)(1+i)²"={(1+i)2}"= (2i)” であるから、与えられた(1+i)^=1+2i+i
等式より,
=2i
(2i)"+(1-√√3 i)"=0
(1-√3i)"=-(2i)"
両辺を (2i)” で割ると,
(1-√3)n
(2i)”
ここで,
-=-1 ….……. ①
(1-√3i)" -(1-√/3i)*)
2i
- (-√/3-1/2i)"
であるから, ① は,
7
7
6
n
7
COS -7+isin "
7
=COS nn
nn+isin mana
6nπ
7
6
7
COS manatisin mann=-1
6
この等式が成り立つのは, on が奇数のとき,すなわ
6
ち,nが6の奇数倍のときである.
nは自然数であるから, 与えられた等式を満たすのは,
n=6(2k-1)=12k-6 (kは自然数)
のときとなる.
JOOS
800052
DUS
100g
|n=6m (mは整数)のとき,
-nは整数となるが,
6
7
6 6
-n=₁ -•6m=7m £9,
これが奇数となるのはが
奇数のとき
い
000 AT

2匹
(2) (1 + i)²h = (√2)³h (cos = rish =) ³h
2n (cost=ño+isin =^^=)
こ
= 2^
-2" (2005- ha cos 52²
12
12
Jhi
(1-√3²)^= 2^ (cos(-5ñ) + ium (- Jn)) ²
((1+i)
(1+ ij³h + (1-√5i)" = 2^ [cos =ªno + cus(-5T) + i {inns + sim (-£x)}]
TU
in (一)
T
(1) (03/元=0かつ炭=0のとき
(05/12/20022 h = 6, 18,30
Jm答え=0のとん=12,2436
(ii) cost=h₂=0 nez
= (0372
んむ
2.2 con cust/ TU + ism/I/N) =0
72
2″N
+ 1.25in ha cos shn )
12
12
3₁2 cos Tonn =0 21:12, cos An=0, bis sin 12-0
よって
炭元:0
12
5h = 12k-6
-6
より条件を満たすんば存在しない
1/2 h5 = 24-12 (k ²²1 1²:1₂)
22)
2
2

複素数平面 極形式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Nn_nt

極形式でこの問題を解くには和積公式後の=0となるsinまたはcosを揃える必要があるので少々面倒です。(これは後で分かる)
(1-√3i)^n=2^n(cos(-π/3)+sin(-π/3))^n
⇔2^n(cos(5π/3)+sin(5π/3))^n
⇔2^n(cos(5nπ/3)+sin(5nπ/3))
与式
=2^n(2cos(13nπ/12)cos(7nπ/12)+i(2sin(13nπ/12)+cos(7nπ/12))=0
和積公式cosA+cosB=2cosA+B/2×(-cosA-B/2)
sinA+sinB=2sinA+B/2×cosA-B/2を用いた
cos(13nπ/2),sin(13nπ/2)≠0
実部と虚部が共に0となるには
cos(7×nπ/12)=(2k-1)π/2(kは自然数)を満たす自然数nが存在する
nπ/12=(2k-1)π/2⇔n=6(2k-1)
n=12k-6

極形式

Nn_nt

与式
=2^n(2cos(13nπ/12)cos(7nπ/12)+i(2sin(13nπ/12)cos(7nπ/12))=0
打ち間違いで足し算してました

豆腐

後ろの3行目から2行目になる過程が分かりません🙇‍♂️

Nn_nt

cos(7×nπ/12)=0
nπ/12=π/2,3π/2,5π/2…を満たしていれば
奇数をかけても上式は(分子が奇数なのに対して分母は2)成り立ちます。
例えばnπ/12が3π/2だとすると
cos(21π/2)=cos(10π+π/2)=cos(π/2)=0

Nn_nt

すみません、3枚目最後の場合分けは上と同じ考え方でも解けますね。

豆腐

cosの中が分母奇数かつ分母2になればいいことを読み取らなければならなかったんですね🤮🤮
具体的な説明分かりやすかったです！
ありがとうございます😆😭