Question

も

黄色の蛍光ペンで引いている部分が分かりません。
OPベクトルは異なる2点を通っているので、直線Lの方程式はOPベクトル＝（1−t）OAベクトル＋tOBベクトルだと思ったのですが、なぜOPベクトル＝OAベクトル＋tOBベクトルとなるのですか。

A
239 空間内に3点 A (1,2,3),B(3,5,2), C (1, 2, 1) がある。 点A, B を通
る直線をeとしたとき、点Cとの距離が最小となるe上の点の座標を求めよ。
¥240 空間ベクトル α = (2,1,-2), 6 =(3,-2, 6) に対して, c=ta +6 (tは実数)
とする。
[13 早稲田大]*
| | の最小値を求めよ。
がことのなす角を2等分するときのtの値を求めよ。 ☆ [09 名城大]*
(2) s の値を求めよ。
S
241 四面体OABC に平面 α が OA, AB, BC, OC とそれぞれP,Q,R, S で
OP: PA=AQ: QB=BR: RC=1:2
を満たすように交わっている。 d = OA,B,C=OC と OS = sc とおく。
(1) PQ, PR, PS をs, a,b,c を用いて表せ。
2
16:10 ABI-LACI²-AP 4607
[12 大阪府立大]
★242 0 を原点とする座標空間に 3点A(2,0,0), B (0, 5,0),C(0, 0,
がある。 原点Oから△ABC へ垂線を下ろし、 △ABC との交点をHとする。
(1) △ABCの面積を求めよ。
(②2) OH の長さを求めよ。
B
243 四面体OABCの各辺の長さをそれぞれ AB=√7, BC=3,CA=√5,
OA=2,OB=√3, OC=√7 とする。 OA=4,OB=6,OC=c とおくとき、次の
問いに答えよ。
(1) 内積
を求めよ。
(2) 三角形OAB を含む平面をαとし, 点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交
点をHとする。このとき, OH を 言で表せ。
(3) 四面体OABCの体積を求めよ。
[13 福井大]
I

170
(2)
また
OH-OA+AH
すなわち
OH = (-8+1, -1+s+21, 2+ 3s + t ...... ①
OH⊥ (平面 α) より
OH⊥AB ....….. ② かつ OH⊥AC ③
② ③
-OA+SAB+1AC
=(0,-1,2)+s (-1,1,3)
f(1,2,1)
OH AB
=(-s+1)x(-1)+(-1+s+2t)×1
+ (2+3s+t) x 3
=11s+4t+5
OH・AC
=(-s+t)x1+ ( −1 + s + 2t) ×2
+(2+3s+t)x1
=4s+6t
11s+ 4t+5= 0
4s+6t=0
t=
これを解いて s=-
(3) KOH=(1,
43
よって、点の座標は (1, - 1/3/3/3)
(4) (3)よりTOHI-F+(-1)+(2) 2
よって
(四面体OABCの体積)=1/3×△ABC×OH
=1/3×1212x12
5
43
-||
5
3
239 点と直線との距離が最小となる点の座標
解法へのアプローチ
直線l上の点をPとすると, 直線lのベクトル方
程式は, OP=OA+tAB となる。 CP=OP-OC
により, CP の成分をtで表すことができるから、
CPはt の2次関数となる。
|解答
直線ℓ上の点をPとすると､直線lのベクトル
方程式は, OP=OA+tAB
ここで, AB=
OP = (2t+1,3t+2, -t +3) •••••• ①
よって,
CP=OP-OC=(2t,3t, -t+2)
したがって
|CPP=(21)²+(31)²+(-t+2)²
=146-41+4=14(1-1)+26
......②
|CP|>0より,|CP|は1=1/
のとき、最小値をとる。
よって、求めるl上の点の座標は、②①
入して
9 17
(2, 47, 20)
7'
〔別解〕 (④までは解答と同じ。)
7
CP | が最小となるのは, CP⊥AB となるとき
CP.AB=0より,2t･2+3t・3+ (-t+2)・(-1)
14t-2=0 より, t=
9 17 20
これを①に代入して (翠)
TAZAME DEL
解説
CP の成分を媒介変数で表し, CP を
次関数とみて解く方法に加え、 別解の
CP が最小 CP直線ℓ
CPLAB
と図形的に解く方法も押さえておこう。
240 ベクトルの大きさの最小値と角の二等
解法へのアプローチ
ANIL
(2) A (d),B() とし,∠AOB の二等
AB との交点をDとすると, AD: DB=
となることと, kOD と表されるこ
する｡
解答
(1) c=ta+b=(2t+3, t-2, -2t+6)
=(2t+3)^2+(-2)+(−2t+(
=98²-16t+49-9(-) +
よっては10のとき、最小値 25
37
したがって, >0よりは
√377
3
t=0のとき、最小値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

(1-t)OA+tOBで合ってます。
OP＝OA+tAB＝OA+t(OB-OA)＝OA+tOB-tOA＝(1-t)OA+tOB

も

理解できました。ありがとうございます。