Question

ゆ

(１)場合分けのひとつをa＜2と置いたのですが
なぜ0＜a／2＜2で解くんですか？
また(1)みたいに中央の値を求めて範囲を決める場合と(2)のように決めない場合の違いを教えて欲しいです。
私は(2)のように(1)解こうとしました。

02
D
基本例題 61 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小
00000
aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5 について
(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求め
CHART O SOL
OLUTION
[1] 軸が定義域の
中央より右
ト軸
定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小
軸と定義域の位置関係で場合分け ・・・・・・
軸
定義域が 0≦x≦a で
あるから, 文字αの値
が増加すると定義域の
右端が動いて,xの変
域が広がっていく。 し
たがって, a の値によ
って, 最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。
(1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほど
yの値は大きい (カ. 100 INFORMATION 参照)。 したがって, 定義域
0≦x≦a の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する )
ようなαの値が場合分けの境目となる。
I=8+D-
最大
定義域
の中央
x=0x=a
[2] 軸が定義域の
中央に一致
軸
最大
宝
1p.97 基本事項 2, 基本 58
MC
区間の
右端が
動く
1
x = 0
|軸
端から軸ま
での距離が
等しいとき
JERO
定義域
の中央
x=a
軸が定義域の>
定義域の両[3]
で
区間の
右端が
動く
HER
0<
x=0
基本62,63
中央より左
軸|
|軸
● 最大
x=a
13
13
MOT
定義域
の中央

(1) 定義域 0≦x≦a の中央の値は今である。
a
[1] 01/22 すなわち0<a<4 のとき
図 [1]から, x=0 で最大となる。
最大値は f(0)=5
[2] 1/2 = 2 すなわち α=4 のとき
図 [2] から,x=0, 4で最大となる。
最大値は f(0)=f(4)=5
[3] 2<// すなわち 4<a のとき
図 [3] から, x=αで最大となる。
最大値は f(a)=a²-4a+5
[1]~[3] から
0<a<4 のとき x=0 で最大値5
α=4 のとき x=0, 4 で最大値 5
a>4 のとき
x=α で最大値 α²-4a +5
図 [4] から, x=αで最小となる。
最小値は f(a)=a²-4a+5
CHABON
口 [5] 2≦a のとき
図 [5] から, x=2で最小となる。
最小値は f(2)=1
[4], [5] から
0<a<2のとき
[最大] []
x = αで最小値α²-4a +5
a≧2のとき x=2で最小値1
[2]
x = 0
最大
x=0
[3]
x=0
[5]
x=a
2x=2
x=21
●最大
(2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦αに含まれるかどうかを考える。
口 [4] 0<a<2のとき
[4]
|軸
x=4
11
x=2x=1/2
最大
x=a
x=21
I
[1]軸が定義域の中央x=1/2
より右にあるから, x=0
の方が軸より遠い。
よって f(0)>f(a)
|x=2
a
[2]軸が定義域の中央x=12/2
に一致するから, 軸と
x=0, α(=4)との距離が
等しい。
よって f(0)=f(a)
最大値をとるxの値が
2つあるので、 その2つ
の値を答える。
最小
-x=a
103
[3] 軸が定義域の中央x=12/2
より左にあるから, x=a
の方が軸より遠い。
よって f(0) <f(a)
最小
1x=a
最後は, 答えをまとめて
書くようにする。
[4] 軸が定義域の右外にあ
るから, 軸に近い定義域
の右端で最小となる。
[5] 軸が定義域内にあるか
ら頂点で最小となる。
最後は, 答えをまとめて
書くようにする。
-) = 0+x0$-²x = (x)
STUUR INOROATHYESOUNO
数f(x)=-x2+6xについて

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まる

(2)では、範囲に軸が含まれている場合必ず最小値がx＝軸 のときになります。

→【1】軸が定義域に含まれる【2】軸が定義域より右側【3】軸が定義域より左側 というイメージで場合分け出来ます。

(1)では、範囲に軸が含まれていても必ず最大値がx＝軸 のとき とは限りません。(定義域の右端or左端or両端で最大値がとれる)

→【1】最大値が定義域の両端【2】最大値が定義域の左端【3】最大値が定義域の右端 というイメージで場合分けできます。

私は↑のような考え方で解いています〜〜！

ゆ

(1)のように中央値を定めて範囲を決める時と(2)のように中央値を求めないで範囲を決めるときの違いはなんですか？？

まる

○定義域の中央値を求めない
下に凸のグラフで最小値を求める
上に凸のグラフで最大値を求めるなど、
軸が定義域に含まれている場合に最大値/最小値がひとつ(x=軸のとき)に決まる

○定義域の中央値を求める
下に凸のグラフで最大値を求める
上に凸のグラフで最小値を求めるなど、
軸が定義域に含まれていても最大値/最小値がひとつに決まらない

という違いです！

ゆ

詳しくありがとうございます！わかりやすく返信して下さったのに返信が遅くなり大変申し訳ありません💦