Question

理系学生

1問目は解けたのですが2問目以降がわかりません。
教えて欲しいです🙏

以下の行列に関する主張はいずれも間違っている. 反例を与えよ.
(1) 2次正方行列 A と B に対し, (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 である.
(2) 2次正方行列 A で A2 = 0 を満たすものは A = 0 だけである.
(3) 実数を成分とする2次正方行列 A で A' =E を満たすものは A = Eだけである.

線形代数 反例 命題

Answer 1

crane

(2) Aとして
　０　１
　０　０
という行列を考えると、A^2=Oになります。

(3)　Aとして120°の回転行列
　cos 120°　-sin 120°
　sin 120°　 cos 120°
という行列を考えると、A^3=Eになることが分かります。
そのほか、Aとして
　０　−１
　１　−１
という行列を考えても、A^3=Eとなります。