Question

イーブイ

相関係数
赤ラインの部分と計算過程の解説をお願いします！

数学Ⅰ 数学A
.
(3) 平成25年度における47都道府県の使用電力量と第3次産業の生産量を一人
あたりに換算し、 散布図を作成すると、 次の図2のように多くの点が横軸に平
行な直線付近に分布した。 散布図の横軸と縦軸の目盛りは省略している。
一般に複数の点からなる散布図において
また
図2 47都道府県の都道府県民一人あたりの
使用電力量と第3次産業の生産量の散布図
(出典: 環境省および e-Stat の Web ページにより作成)
セ
すべての点が傾き 0 の直線上に分布すると セ 。
援よろ
④
すべての点が傾き の直線上に分布すると ソ
ただし、すべての点が一致する場合は考えないものとする。
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
⑩ 相関係数は-1となる
① 相関係数は0.2となる
相関係数は0 となる
相関係数は 0.2となる
相関係数は1となる
⑤ 相関係数は定まらない
-42-

使用電力量と第2次産業の生産量の間, および使用電力量と第
3次産業の生産量の間には強い正の相関があるから,一方の散布
図は②,他方は③である.
ここで, 東京都は使用電力量, 第3次産業の生産量がともに国
内最大であることから, 使用電力量と第3次産業の生産量の散布
図は②であり、使用電力量と第2次産業の生産量の散布図は
3 である.
･･･
(3) 散布図の横軸をx軸, 縦軸をy軸とし, x で表される変量X,
で表される変量Yの平均値をそれぞれX, Y, 標準偏差をそ
れぞれ $x, sy とし, また XとYの共分散を sxy とする.
変量X と Y には,それぞれn個の値があるとし, その組を
(X1,Y1), (X2, Yz), (Xs, Y's), ..., (Xn, Yn)
…,(Xn,
とする.
ここで, 散布図において, すべての点がy軸に平行でない直線
上に分布するとき, k=1, 2, 3, ..., n に対して,
Y=mXn+6 (m, 6は定数)
と表せ,さらに,
であるから,
Y=mX+6
BURM
19

Ÿ₁−Y=m(X₁−X).
散布図において,すべての点が傾き0 の直線上に分布すると
き, ① においてm=0 とすると、 すべてのんで
Y₁-Y = 0.
したがって, Sy=0 となり, XとYの相関係数は定まらない。
散布図において,すべての点が傾き
とき, ① においてm=- 1/13 とすると、すべてのんで,
Yk-Y = — -—(X₂-X).
よって,
s₂²_ (Y₁−Y)²+(Y₁¬Y)²+···+(Y₂−Y)²
=
n...
であるから,
また,
Sxy
25
.
2
= 125 SX²
-Sx
(X₁−X)²+(X₂¬X)²+···+(X₂−X)²:
n
(X₁−X)(Y₁-Y)+(X₂−X)(Y₂−Y)+…+(X₂−X)(Y₂−–Y)
n
· −1³. (X₁−X)² + (X₂ −X)² + ···+(X₂−X)²
n
= -—-8x².
したがって, XとYの相関係数は,
SXY
SxSy
の直線上に分布する
2
Sx*
Sx
sjsx
-1.
・偏差分散・標準偏差
変量についてのn個のデータ
の値を x1, X21 '', xn とし, その平
均値をxとするとき,
xューズ, 第2-x, …', xn-x
をそれぞれx;
Xの偏差と
いう。さらに, 偏差の2乗の平均値
をxの分散といい, s” で表す。 つま
り、
´‚² = — - ! (x − x)² + (x − x ) ²
+ ··· + (x₂¬x)³}.
また,sをsで表し,xの標準
偏差という.
相関係数の定義式において,分母が0
になってしまう。
・相関係数・
変量xと変量yの標準偏差をそ
れぞれ Sx1 sy とし,xとyの共分散
をxとするとき,
Sxy
SxSy
をxとyの相関係数という.
・共分散
2つの変量」に関するn組の
データ
(X₁₁ 3₁), (x₂, 1₂), ..., (Xnr.Yn)
に対し,りの平均値をそれぞれ
x,yとするとき、x,yの共分散
Sxyは、
Sy=+
=
p
12
土
{(x₁—7X(9₁−9)
· + (x₂-x)(y₂-D).
· + ··· + (x₂ −X ) (Ÿn −F)}.