Question

hmn

解き方教えてください

期末の演習問題
問1. {3a-26|a,b∈Z}={2c-dc.de z} を示せ .

大学数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

A= { 3a-2b | a, b ∈ Z }
B= { 2c-d | c, d ∈ Z }
とする。
A=Bを示すためには、
A ⊂ BとB ⊂ Aを証明すれば良いです。

そして、A ⊂ Bを証明したければ、
n ∈ Aを仮定して、n ∈ Bであることをを導けば良いです。
以下、A ⊂ Bの証明を書きます。

A ⊂ Bを示す。
n ∈ Aとする。すると、ある整数a, bを用いて
n = 3a-2b
と書ける。このとき、
n = 3a-2b = 2･(-b) - (-3a)
であるから、c=-b, d=-3aとおくと、
c, d ∈ Zであって
n = 2c-d
と表せる。よって n ∈ Bである。
したがって、A ⊂ Bが示せた。

あとはB ⊂ A も同じように示せばOKです。
途中のポイントとしては、
n = 2c-d = 2c-3d+2d = 3･(-d) -2(-c-d)
と変形するところでしょうか。

よければご参考ください。