なぜこの問題では最後に逆の確認が必要なんですか？x^3の係数が正で、導関数f'(x)=0が異なる２つの実数解x=-1,3をもつのでx=-1で極大値、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、
例題 208 極値より関数の決定
3次関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=-1 で極大値をとり, x=3
で極小値-25をとる. 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. ( 足利工業大)
考え方 与えられた条件より, 増減表をかく.
x=-1で極大値をとる”
10m
x=3 で極小値-25をとる”
■解答 y=f(x)の増減表が右の
ようになるときを考える.
()>(E\ƒ(x)=x³+ax²+bx+c
また,f'(x)=0 であっても, x=αで極値をとるとは限らない。さらに,極値が極大値
(8) か極小値かの判定もできないので、 確認が必要である.
f(-1)=0 で, x=-1の前後でf'(x) の符号が正か
ら負に変わる。
Focus
f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の
符号が負から正に変わる.
...
練習
[208]
***
f'(x) +
より,f'(x)=3x2+2ax+bf(x) 極大
増減表より、 f'(-1)=3-2a+b=0
-1
3
0 2 0 +
極小
-25
f' (3) = 27+6a+b=0%(1+x
f(3) = 27+9a+36+c = -25
11
①, ②, ③ を解いて, a=-3, b=-9, c=2
また,このとき, f(x)=x²-3x²-9x+2
>
......1
…. ③
f'(x)=3x2-6x+9=3(x+1)(x-3)
より,増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3
で極小値-25 を確かにとる。
極大値は,
f(-1)=-1-3+9+2=7
よって
a=-3, b=-9, c=2, 極大値70で
***
NICO
y=f(x)がx=α で極値をとる
f'(a)=0
f' (α)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない
① ② から α, bを
求め③に代入する。
求めたa,b,cの値
のときに x=-1 で
極大値, x=3 で極
小値-25をとるか
確かめる.
注) 例題208 で, 「x-1で極小値x=3で極大値25」という条件でも、 ① ② ③の
式が出てくるが、そのとき, 求まる a,b,c は、この条件を満たさない。
つまり①②からは x=-1, 3 で f'(x)=0 となること ③ からは点 (3, -25) を
通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である.
注
極値をとるときのxの値x=-1, 3 は、 f'(x)=0 の2つの解であることから、解と
係数の関係を用いて α, 6の値を求めてもよい。
(1) 関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=1で極大値2をとり, x=3で極小値
をとる. 定数 α, b, c の値を求めよ.
3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるという. ま
その極大値は2で極小値は-2であるという. このとき、条件を満た
す関数f(x) をすべて求めよ.
1x25x1
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