この問題の(2)です！

数学

高校生

解決済み

3年弱前

さこ

この問題の(2)です！
青チャでも度々見る問題だったので、解法で何をしているか理解しています。

切片の最小値を求めるとき、どうして直線が【端っこの点】か【放物線との接点】しか取り得ないのか、自分でも想像したらなんとなくわかるのですが、どなか分かりやすい言葉で解説してほしいです。

あとmが0だった場合は直線は二つの点は通らず、この図形の範囲の最下点を通りますよね。

(答えではちゃんとそのとき最小値が−1/2になることはわかっているんですが、、なんか混乱します😔)

せよ。 el を用いて生が S、これをst 平面上に図示すると. 図1の網目部分となる。ただし, 境界はすべて含む。 (2) k=xy+m(x+y) (m ≧0) とおく。 x+y=s.xy=t とおくと t=-ms+k (m≥ 0) k=t+ms これは st 平面上において, 傾き -m (0以下)、切片kの直線を表す。 (s,t) は (1) で得た領域内になければならないから,図2より、この直線が (s, t) =(√2, ½) を通るときは最大となる。よって, 最大値は次に, kが最小となる場合を調べる。 1 2 t= 1 2 t=-ms+k が接するのは,sについての2次方程式 1 =-ms+k 2 5². 最小値 .. k= =1/2+12m k = 最小値は以上をまとめると最大値 2 すなわち s2+2ms-1-2k=0 が重解をもつときである。つまり m²+1+2k=0 のとき,放物線と直線は接し,接点のs座標は s= -m である。 -√≦s≦√2,m≧0であるから,図2より 0≦m≦√2 のとき,kの最小値は k= √2m -N m² +1 2 m>√のときには,直線t=-ms+kが点(-v2, 1/2) を通るときkは最小となり [0≦m≦√2 のとき 1 >√2 のとき 53 平面図形 203 2 + √2m m² +1 2 1-1/2-3 √2m (s+m)²-m²-1-2k=0 O 図2 1√2 (答)

実数x,yがx+y≦1を満たしながら変化するとする。 (1) s=x+y,t=xy とするとき, 点 (s,t) の動く範囲を st平面上に図示せよ。 A (2) 負でない定数m≧0をとるとき,xy+m(x+y) の最大値, 最小値をm を用いて表せ。ポイント本間の類題は, 参考書や問題集でよく見かける。解いた経験をもつ受験生が多かったのではないだろうか。 (1) x,yはXの2次方程式 X^-sX+t=0の解であり, x yは実数であるのだから, S. tは条件D=(-s) - 4×1×t≧0 (判別式が0以上)を満たさなければいけない。つまり,s,tは勝手な値をとれないのである。 (2) xy+m(x+y)=t+ms =kとおくと, これは st平面上で傾き-m, t切片がんの直線〔解法2] のように sを固定してt の最大値・最小値を求め,次にsを範囲内で動かしてを表している。 (1)の領域内の点 (s,t) でんの最大や最小を考える定型的な問題である。みるという方法も考えられる。解法 1 (1) x+y=s, xy=t であるから,x,yはXの2次方程式 X2-sX+t=0 の解である。x, y は実数であるので,この2次方程式の判別式Dは D=(-s)2-4t≧0 15 / 5².10 ･① また,x,yはx+y≦1を満たさなければならないから x2+y2 = (x + y) 2-2xy = s2-2t に注意すれば s² - 2t≤1 21/8² - 1/12 ·② 1 ② より -√2 2 10 1 2 図 1 1 C (2) x+ こ切にを

領域

回答

✨ ベストアンサー ✨

記述における⇔大事だよね!

3年弱前

上手く説明できないかも知れないけど、領域の周の部分は、領域でない部分と触れているから、放物線の接点や、端っこの点(異なる図形の交点)に最初または、最後に通過するので、最大や最小に関係する、と考えルのはいかがかな？逆に、領域の周ではない部分は、数多くの点があってその中の１つの点が最大や最小に関係するとは到底思えない、と考えるのもいいと思うよ。
m＝0のとき、最小となるのは、直線が放物線の頂点(0,-1/2)で接するときで最小値は、k＝-1/2となり、これは最後の最小値をまとめている式にm＝0を代入しても、成り立っているからいいと思うけど、もう少し具体的に混乱している理由を教えてくれ～

さこ 3年弱前

コメントありがとうございます！
返信が遅くなって申し訳ないです。『最小値、最大値に関係する点』についての説明がわかりやすく、頭の中がスッキリしました。

さこ 3年弱前

その後のことについてですが、私が何に混乱しているか自分でも分かりやすく説明できないのです。

たぶん、私が何かわからないけど勘違いしているんだと思います🤔

kが最小になる場合として最初に『直線と放物線が接する場合(写真のピンクの部分)』の話をしているのですが、
私はここからでてきた緑で引いてある式がすべて「直線と方程式から作った式が重解を持つ時」つまり【直線と方程式が一点で接する場合のみ】成り立つものだと思っています。

その場合というのが0<=m<=√2のときだと書いてあるのですが、それは逆にmが√2より大きい時は重解を持たないということだと解釈しています。(←そこから間違ってるのかもしれません)

そして［その時］というのが［直線が点(−√2、1/2)を通る時］だと書いてあるのですが、【点(−√2、1/2)を通る直線を回転させる】と二枚めの写真のようにその点で重解をもってる瞬間がありますよね？

(↑その発想があっているのかもよくわからないです🧐)

なのでこの解答の2つの場合の境界線(？)が自分の中でごちゃごちゃになっています。。。

= 3年弱前

x+y, xyを含む変換/関数 #東工大
とYouTubeで検索をかけてみてください

さこ 3年弱前

コメントありがとうございます。
その動画を見ましたが分かりやすかったです。
ただこの動画と解答とでは範囲が違います。
たぶんどちらでも合っているということですよね？🤔
動画ではグラフの【黄色い部分の一点を通る直線の切片】【オレンジ部分の一点で接する直線の切片】という分け方、
解答では【重解を持つ場合の切片】と【持たない場合の切片】で分けているという解釈であっていますか？

直線の傾きが−√2のとき、1番端っこの点で接するということですよね？

では解答のまるで【m>√2のときのみ直線が端っこの点を通る】みたいな表現は少し分かりにくいですよね？？🙁

= 3年弱前

そうですね！
この問題は
傾きmをxの変化量/yの変化量
で表して　
それぞれ場合分けをして
範囲を判定しているかんじです！
どちらでも　証明できているので大丈夫です
解答の方は少し情報が少なく不親切だったかもしれませんが
そこまで詳しく書く必要は無いからだと思います

= 3年弱前

数学上
不等号に＝をつけるかつけないかは
片方どちらかにに入っていれば大丈夫だったりする問題があります今回は
どちらでも大丈夫です。
代入してどちらも等しい点なので

記述における⇔大事だよね! 3年弱前

僕の方の解説はもう必要がないと思われますが、一応しときますね〜。逆にmが√2より大きい時は重解を持たないということ解釈しています➛重解を持つことには持ちますが、領域内で接しますね(重解をもつ)。そして、｢その時｣、直線が接している状態から、領域と共有点を持つように(上の方に)動かすと点(-√2,1/2)を通るときに、初めて領域を通りので、m＞√2のとき最小値が解答のようになりますね。(回転という表現がよくわかりませんでした🙏💦)傾きに着目した方がよりわかりやすかったですね。