Question

Shark

両者の問題の違いは何ですか？
なぜ前者は場合分けが「-かつ-」となっていないのでしょうか？(3)です。頭いい方お願いします🙇‍♂️

( 372 )
[□]
解答
(1)
AU
4
配点
(15点(2) 8点 (3) 12点
C
G■
2次関数 (25点)
(2)
ON
2次関数f(x)=ax²+2ax+3a+1 がある。 ただし,αは0でない定数とする。
(1)a=2のとき、y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) y=f(x)のグラフをx軸方向に2,y軸方向にだけ平行移動したグラフを表す関数を
y=g(x) とする。 y=g(x)のグラフの頂点の座標をGを用いて表せ。 また, y=g(x) の
グラフが点 (3,1)を通るときの値を求めよ。
解答の
ポイント
(3) 正の定数とする。 (2)のとき、ISxSt+3 における g(x) の最大値をM. 最小値を
とする。1を用いて表せ。 また、2M-m=6となるようなの値を求めよ。
a=2のとき
∫(x)=2x²+4x+7=2(x+1)+5
よって、y=f(x)のグラフの頂点の座標は
(-1, 5)
∫(x) を平方完成することができた。
⑩平方完成した式から頂点の座標を読み取ることができた。
∫(x)=ax²+2ax+3a+1=a(x+1)+2a+1
であるからy=f(x)のグラフの頂点の座標は
(-1, 2a+1)
y=g(x)のグラフの頂点は、y=f(x)のグラフの頂点をx軸方向に2. y
軸方向に3だけ移動したものであるから、その座標は
(1, 2a+4)
g(x)= a(x-1)¹+2a+4
さらに、 y=g(x)のグラフが点 (31) を通るとき
(3) 1
よって
圈 (-1.5)
4a+2x+4=1
a-1/23 これは を満たす。
解答の
ポイント
2x²+4x+7=2(x+2x)+7
=2(x+2x+1-1)+7
=2{(x+1)^-1)+7
=2(x+1)+5
ax²+2ax+3a+1
=a(x+2x)+3a+1
=a(x+2x+1-1)+30+1
a{(x+1)^-1)+3g+1
=a(x+1)+2a+1
y=(x)のグラフの頂点は
座標: -1+2=1
y座標: 24+1+3=2a+4
<y=g(x) に x 3. y=1を
入する。
(順に) (1.2g+4), am-12/2
◎ y=f(x)のグラフの頂点の座標をaを用いて表すことができた。
○ 平行移動の考えを利用して, y=g(x)のグラフの頂点の座標を求められた。
© 求めた頂点の座標から(x) を表すことができた。
A
[□]
CO
O
C
[□]
C■
(3)
(2) のとき
(x)=2(x-1)2+3=-212x2+x+2/2
したがって, y=g(x)のグラフは右の図のよ
うになる。
t>0 のとき、x+3 における g(x) の
最小値は
m=g(t+3)=-
である。 また、最大値は
(i) 0<t≦1のとき M=g(1)=3
it >1のとき
となる。
(i) 01のとき
2.Mm6 より
=-12-21+1
t>1のとき
2.M-m6より
2-3-(-12-21+1)=6
12/2+21-1-0
t²+4-2=0
t=-2±√6
場合分けの条件 01 より
t=-2+√6
解答の
ポイント
M=9(1)=²+1+
2 ( - ² + 1 + ) ( − 1 −2+1)=6
-+-20
-&+40
t=4+2√3
場合分けの条件1>1より
1-4+2√3
(1), ()より、求める」の値は
=-2+√6. 4+2
Ot
y=g(x)\
最大
+3:
y-g(x)
11+3.
1226-21+1.276.4+2/3
x
αは負であるから, y=g(x) の
グラフは上に凸の放物線である。
定義III+3 の中央は
1+1/2/2 である。1>0のとき。
2/23 >1 であるから、y=g(x)の
グラフの軸x=1は常に定義域の
中央x+2/23 より左側にある。
よって, g(x) は定義域の右端で最
小値をとる。
g(x) が最大となるのは、 0<IS]
のとき､グラフの頂点においてであ
り、t>1のとき、定義域の左端に
おいてである。
場合分けができた。
の大小関係によって、
場合分けの範囲に入るかどうかを
確認する｡
であるから
より 26 <3
2+2 <-2+√6 2+3
0-2+√1
また、 -2-√6 <0
場合分けの範囲に入るかどうかを
確認する。
4/9<√12<√16 2D, 3<2√3<4
であるから.
44 < 4-2√ < 4-3
0<4-2/3 <I
また、 4+2/51
○最小値を求められた。
0と1
ⓒ それぞれの場合において, 条件 2M-m6の方程式として表すことができた。
それぞれの場合において､その方程式を
解の味ができた。

to
E
【選
4
C
ON
A
U
A
[□
-1≦x≦2の範囲で, y=f(x)のグラフは右
の図のようになるから､∫(x) は
x=-1.2で最大値3
x-21/12 で最小値-4
(3)
をそれぞれとる。
完答への
道のり
y=f(x)のグラフの軸は、直線 x
A f(x) を平方完成することができた。
グラフの軸と定義域の位置関係を考えて、最大値 最小値と、そのときのxの値をそれぞれ求め
ることができた。
M=S(-1)=e+t+1
m=f(21)=4621+1
i < 2012/12 すなわち0<</1/12 のとき
f(x) はx=ー! で最大.x=2で最小と
なるから
M+mより
(P+1+1+(4-21+1) - 2
5²-1+2=21
10r¹-2r-17-0
1=√171
10
1+√171 1+13
10
ここで､ 169171 より 13 171 であるから
1-√171 <0
10
x-1/2 である。
圏 = -1.2のとき、最大値3
x 12/23 のとき、最小値 4
また
よって、いずれの値もOKI 1/1 満たさないから不適
M-S(-1)=1+1+1
m-s() -
M+m= より
1/11/12/1/2 わち / IS1のとき
かつ
f(x)はxt で最大 x 1/1/2 で最小と
なるから
(P+1+1) + 7 = ²2
-10 til 2F
2:2
30-
y=/()
y=f(x)
y=f(x)
7
最大値をとるxの値が2個ある
ことに注意する。
軸が定義域の右外にある場合。
2次方程式の解の公式
2次方程式 ax²+bx+c=0 の解
x =
-b±b2-4ac
2a
得られたの値が、 場合分けの条
件を満たすか吟味する。
軸が定義域に含まれ、定義域の中
央x=
より右側, または中央に
ある場合。
F
G
H
ON
4²+46-35-0
(21+7) (21-5)-0
これらは 1/12 SI を満たさないから不適。
1/12/
12/11/1/2
f(x) は x = 24 で最大, 12/23 で最小と
x=
なるから
M=f(20)=4r-21+1
- (1) -
m
M+m=
完答への
道のり
より
(4²²-27+1) + 3 = 2/1
16t²-8-35=0
(4t+5) (4-7)=0
1=-5 7
4'4
1 を満たすものはt=
(i)~(m)より, 求める」の値は
のとき
014
2:2
5 場合の数 ( 25点)
y=f(x)
20
得られた」 の値が、 場合分けの
件を満たすか吟味する。
軸が定義域に含まれ、 定義域の中
12/28 より左側にある場合。
A グラフの軸と定義域の位置関係により、3つの場合に分けて考えることができた。
得られたの値が、 場合分けの条
件を満たすか吟味する。
それぞれの場合において、M+m=2 からについての2次方程式を立てることができた。
<- 31-
ⓒ0 それぞれの場合においての2次方程式を解き、解の吟味をすることができた。
1. 2,3,4,5の5種類の数字を使って4桁の整数をつくる。 ただし、同じ数字を繰り
返し使ってもよいものとする。
(1) 4桁の整数は全部で何個できるか。
1122122のように、1と2のちょうど2種類の数字を使ってできる4桁の整数は全
であるか､また､ちょうど2種類の数字を使ってできる4桁の整数は全部で何個あ
(3) ちょうど3種類の数字を使ってできる4桁の整数は全部であるか。 また、このうち、
5000以上の整数は全部で何個あるか。

二次関数

Answer 1

数学科

2枚目の問題文は載せられますか？

Shark

これです！

Shark

すみません、あと2つ目に問題の-かつ-の後、すなわちの値はどうやって出すんですか？3辺ある方は連立して解き、2辺の方の整理したものとの共通範囲を出さなければいけないんですかね？もう少し簡単な方法あれば教えてくださいm(_ _)m

数学科

返信遅くなってしまいすみません。
説明の都合上後者から。
まず後者ですが、(i)では軸がxの範囲外、(ii),(iii)では軸がxの範囲内になっています。軸がxの範囲内か範囲外かという場合わけが必要になります。
いま最大値,最小値をとるxを知りたいわけですが、軸のところで最小値をとることは大丈夫だと思います。続いて最大値はどこでとるかというと、軸から最も離れている部分になります。軸から-tの方が離れている場合と2tの方が離れている場合が考えられるので、「かつ」という場合わけが必要になり(ii),(iii)でそれらをわけて考えています。
かつの後の式ですが、範囲の両端の中点です。これが軸より大きいか小さいかで場合分けをして、どちらがより離れているかを判別しています。また範囲の計算方法ですが、地道に共通範囲を求めるしかないと思います。
続いて前者ですが、tがどのような値をとったとしてもt+3の方で最小値をとります。そのため最大値をとるのが軸のところなのかtなのかで場合わけをしており、その一つの場合わけでいいというわけです。

長くなってしまいました。少しでも疑問があれば遠慮なくいってください。