Question

イーブイ

(1)から計算が合いません。教えてください。『ベクトル』

21:30 7月11日 (月)
【1】 空間内に平面α:x+3y+2z=10と, 直線 1:x=y+2= ・および
2+6
5
点P(2,2,8) がある.
(1) 直線を含み, 点Pを通る平面の方程式を求めよ.
平面 3: 1 x+ 2 y-²= 3
(2) 平面 αと平面βの交線の方程式を求めよ.
x=-y+4=2 5
( 30点)
( 30
(3) 平面 αと平面βのなす角を0とするとき, 0 の値を求めよ.
ただし、0°≦0 ≦ 90° とする.
0=|6|7
。
(40点)
78%

ベクトル

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

(1)
平面の方程式を求めるには、3つの点の座標が分かれば良い。
直線lの方程式に「x＝0」を代入すると、y＝-2、z＝-6　⇒　(0, -2, -6)は直線l上の点である。
直線lの方程式に「y＝0」を代入すると、x＝2、z＝4　⇒　(2, 0, 4)は直線l上の点である。
よって、平面βは3点(0, -2, -6)、(2, 0, 4)、(2, 2, 8)を通る。
平面βの方程式を「ax+by-z＝c」として、(x, y, z)に(0, -2, -6)、(2, 0, 4)、(2, 2, 8)を代入すると、
-2b+6＝c、2a-4＝c、2a+2b-8＝c
これを解くと、(a, b, c)＝(3, 2, 2)
したがって、平面β：3x+2y-z＝2■

(2)
平面α：x+3y+2z＝10
平面β：3x+2y-z＝2
加減法でzを消去すると、x+y＝2　⇒　x＝-y+2
加減法でyを消去すると、x-z＝-2　⇒　x＝z-2
したがって、x＝-y+2＝z-2■

(3)
2平面のなす角は、それぞれの法線ベクトルのなす角に等しい。
平面αの法線ベクトルを(→α)とすると、(→α)＝(1, 3, 2)
平面βの法線ベクトルを(→β)とすると、(→β)＝(3, 2, -1)
ベクトルの内積の定義より、(→α)・(→β)＝|→α||→β|cosθ
(→α)・(→β)＝1×3+3×2+2×(-1)＝7
|→α|＝√(1²+3²+2²)＝√14
|→β|＝√(3²+2²+(-1)²)＝√14
よって、7＝14cosθ　⇒　cosθ＝1/2
したがって、θ＝60°■

イーブイ

理解できました！丁寧に解説していただいてありがとうございます！