Question

さこ

青チャの2次方程式の解の存在範囲に関する問題です！

写真の青い部分についてなのですが、
自分は【１より大きいもの同士】をかけたら当然１より大きくなるという理由で【αβ>1】としました。

もちろん解法の変換の仕方は理解できるのですが、
このとき【αβ>1】ではなく【(α-1)(β-1)】とすることは問題を解く上で重要なんでしょうか？

どなたか教えてください🙏

p.81 基本事項
.
数学Ⅰで
のグラフを
ができる。
〇解とあし
>>0
基本
例題 50 2次方程式の解の存在範囲
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、 定数の値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解を α, β とする。
(1)2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1>0
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→α-3とB-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説)もある。これについては,解答副文の別解] 参照。
2次方程式x^-2px+p+2=0の2つの解をα,β とし,判別式
をDとする。
D =(-p)²-(p+2) =p²-p-2=(p+1)(p-2)
4
解と係数の関係から
(1) a>1,ß>1 であるための条件は
α+β=2p, aβ=p+2
D≧0かつ (α-1)+(β−1) > 0 かつ (α-1)(β−1)>0
D≧0から
(p+1)(p-2) 20
よって
p≤-1, 2≤p
①
(a-1)+(B-1) > 0 すなわち α+ β-2> 0 から2ヵ-20
②
よって
p>1・
(α−1)(β−1) > 0 すなわち αβ- (a+β) +1 > 0 から
p+2-2p+1>0
......
p<3.. ③
(3)
よって
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
③ の共通範囲をとって
2≦p<3
①
p.81 基本事項 [2]
別解 2次関数
f(x)=x2-2px+p+2の
グラフを利用する。
(1) 10/1=(p+1)(p2)≧0,
-1 1 2 3 p
軸についてx=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
y
3-p
20
83
+
x=py=f(x)
B x
2章
9 解と係数の関係、
(2) f(3)=11-5p<0から
>>1/10
p>
解の存在範囲

解と係数の関係 解の存在範囲 2次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

数学において特に断りなく「条件を求めよ」とか「範囲を求めよ」と言ったら、基本的に必要十分条件を指します。もし十分条件で良かったら、「2x>100となるxの条件を求めよ」のような問題でx>1000などと答えても正解となってしまいますし、必要条件で良かったらx>0などと答えても正解になってしまいますよね。
必要十分条件とは、要するに「同じ意味を指す別の表現」のことです。今回で言えば、"α>1かつβ>1"(この条件を①とします)という条件を、pを使って、同じ意味を指す別の条件に書き換える必要があります。
αβ>1(②とします)は、①の必要十分条件ではなく、必要条件となっています。(①ならば②は言えるが、②ならば①は言えない)これは、上に挙げた例で言うx>0と同じようなミスになっています。
一方、(α-1)(β-1)>0は①の必要十分条件です。ですから今回はこっちが正解になります。

さこ

なるほど！
確かにαβ>1だと片方が１より大きいという条件を満たさなくても成り立ってしまいますね。。
理解できました。ありがとうございます！

Answer 2

さい先生

判別式以降の条件が、α>1、β>1であるための十分条件を満たす必要があります。
要は「まずα>1、β>1が有き」では無いので，αβ>1と考えていけないのです。

さこ

コメントありがとうございます。理解が深まりました！