Question

jpgamw

解き方分かりません。
教えてください。お願いします🙇

例題19 2次関数の決定
関数 y=ax²-4ax+b (1≦x≦3) の最大値が8で, 最小値が−1である
とき,定数a,bの値を求めよ。
放物線 y=ax²-4ax+b が下に凸か, 上に凸かで場合分けをする。
解 y=a(x-2)^2-4a+b より, a≠0 のとき､この関数のグラフの軸は直線x=2
である。
(i)a>0 のとき
x=2で最小となるから, -4a+b=-1 ......①
x=-1で最大となるから、 5a+b=8 ...・・・
②2
① ② より
a=1, b=3
これは、条件 > 0 に適する。
考え方
(ii) a <0 のとき
x=2で最大となるから、
x=-1で最小となるから､ 5a+b=-1
③④より
a=-1,b=4
これは,条件 α <0に適する。
-4a+b=8 ...... 3
(ii) α=0 のとき
y=b となり、 定数関数となるから,題意に適さない。
(i)~(ii)より, α=1, b=3 または α=-1, b=4
8
18
3
Xx2
20
3
x=21

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Rei

恐らく場合分けのやり方が分からないんでしょうか？
この二次関数はx^2 x 定数の全てに文字が含まれているので難しそうですが、考え方を理解すれば簡単に解けます。

まず、y＝ax^2-4ax＋bを平方完成すると
y＝a(x-2)^2-4a＋b ここまでは大丈夫ですかね？

次に、この二次関数の最大値 最小値を考えなければいけませんが、x^2の係数がaなので下に凸な放物線か上に凸な放物線か判断することができません。(aによってx^2の符号が異なってしまうため)

そのために場合分けが必要なんです

a＞0ならばこれはy＝x^2〜といった下に凸な放物線になり、a＜0ならばこれはy＝-x^2〜といった上に凸な放物線になります。

ただ、a＝0のときは注意が必要です。
a＝0を実際に代入するとy＝bになってしまうため、これは直線を示すことになってしまいます。つまり、最小値も最大値も存在しないことになります。

あとはそれぞれabを用いて最大値と最小値を対応させれば求められると思います

どうでしょうか？

どうでしょうか？

Rei

すみません、何故か2回同じことを言ってますね

jpgamw

こちらもありがとうございます。
とっても分かりやすかったです！
こっちの問題の方が簡単に解けますね！！
ありがとうございました。