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[2](2)
(α+β)^3を展開して、少し変形すると、
(α+β)^3＝α^3+β^3+3αβ(α+β)
という形にすることができます。
α+βをxとおいて、αβに(1)の答えを代入すると、xの3次方程式になります。
この3次方程式は、因数定理を使うと「1次式×2次式」に因数分解でき、1つの実数解と2つの複素数解が得られます。
xは明らかに実数なので、この実数解が答えになります。
[2](3)
(1)(2)の答えを利用して、解と係数の関係「(x-α)(x-β)＝x^2-(α+β)x+αβ」からαとβを求めることができます。
xの2次方程式「x^2-(α+β)x+αβ＝0」に(1)(2)の答えを代入し、xについて解くと、2つの実数解が得られます。
大きい方がα、小さい方がβです。
[3](1)
a^xをbとおくと、
・a^(3x)＝(a^x)^3＝b^3
・a^(-3x)＝1/(a^(3x))＝1/((a^x)^3)＝1/(b^3)
・a^(-x)＝1/(a^x)＝1/b
なので、与式は
(b^3+(1/(b^3)))/(b+(1/b))
＝(b^3+(1/b)^3)/(b+(1/b))
＝(b+(1/b))(b^2-1+(1/b)^2)/(b+(1/b))
＝(b^2-1+(1/b)^2)
＝(b^2-1+(1/(b^2)))
と変形できます。
b^2＝(a^x)^2＝a^(2x)＝3なので、これを代入して計算すれば答えが得られます。
[3](2)
3^xをyとおくと、3^(-x)＝1/(3^x)＝1/yなので、「3^x-3^(-x)＝3」は「y-(1/y)＝3」になります。
両辺にyを掛けると、yの2次方程式になり、これを解くと2つの実数解(一方は正、もう一方は負)が得られます。
3^xは常に正なので、正の実数解が答えになります。
次に、
・27^x＝(3^3)^x＝3^(3x)＝(3^x)^3＝y^3
・27^(-x)＝1/(27^x)＝1/(y^3)＝(1/y)^3
なので、27^x+27^(-x)＝y^3+(1/y)^3となります。
1/yの値は、分母の有理化で計算できます。
あとは力技で最後まで計算することもできますが、以下のように工夫することもできます。
yをα、1/yをβとおくと、
α^3+β^3＝(α+β)^3-3αβ(α+β)＝(α+β){(α+β)^2-3αβ}
αβ＝1なので、α+βが求まれば答えが得られます。
ありがとうございます！
ここ苦手なので分かりやすく説明してくださって助かりました！✨