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「0≦θ<2πでは、cosθ-1≦0である」というのは、「0≦θ<2πでは、cosθ≦1である」ということです。
「ゆえに〜〜」の部分の式の左辺を見て、cosθ-1と2cosθ-1両方とも正は成り立つのか、および両方とも負は成り立つのかを調べようとするためにcosθ-1の範囲を調べようとして、「0≦θ<2πでは-1≦cosθ≦1」を利用してる感じですね。
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