Question

ゆうり

複素数平面、ド･モアブルの定理の問題です。
(4)について。
2枚目のマーカー部分で、2つの方程式を比べて赤の下線部の式同士を=で繋げていると思うのですが、この方程式は元々z^5=0の変形でz-1=0がいえるため、赤の下線部が=で必ずしも結べる訳では無いのでは…と思ってしまいます。
解説よろしくお願いします。

00
((1)~(3)金沢大
重要 例題171の5乗根の利用
複素数 α (α+1)を1の5乗根とする。
1
+-=0 であることを示せ。
1
Q?
(2)(1)を利用して,t=α+aは+t-1=0 を満たすことを示せ。
2
(3)(2)を利用して, cos πの値を求めよ。
果
2
=ェ+isinー元とするとき, (1-α)(1-α")(1-α')(1-α*)=5である
2
(4) α=cOS
5
ことを示せ。
基本 15

(4) =1であるから,k=1,2,3,4,5に対して
|(3)の αと同じ値。αキ1
(a^)°=(@°)*=1*=1
が成り立つ。
よって,a*(k=1, 2, 3, 4, 5)は方程式25=1の解である。
ここで, α, α, α°, a*, α* (=1) は互いに異なるから,5次
方程式2-1=0 の異なる5個の解である。
ゆえに、
すなわち 2-1=(z-1)(z-a)(z-α")(z-a")(2-α') と
因数分解できる。2-1=(z-1)(2'+z+z°+z+1)である
(2-a)(z-a")(z-α")(z-α')=z"+z+z°+z+1
a
Q2
2
X5
1
x
2-1=(z-a)(z-α")(z-α")(z-a^)(z-α")
Q3
注意 一般に,n次方程式は
n個の解をもつ。
から
両辺に2=1 を代入して
(1-a)(1-a)(1-α')(1-α^)=5
別解(与式)=(1-α)(1-α*)×(1-α")(1-α°)
=1と(1)で導いた
a*+a°+°+α+1=0 を利
={2-(α+α*)}{2-(α^+α°)}
=2°-(α*+a°+α?+α)·2+α°+a*+α°+«'
=4-(-1)-2+a+«*+a+α'=6-1=5
用する。
9E

ド･モアブルの定理