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a,bは整数でないといけません。
(質問者さんは実数とおいてしまっています)
実数以外で例えばa=b=1/3としてしまえば、

mn=2(2ab+a+b)+1の部分が
  2×(2×1/3×1/3+1/3+1/3)+1
2×(2/9+2/3)+1
2×8/9+1
25/9

となりますが、25/9は偶数や奇数と言えますか?

2×(整数)=偶数
2×(整数)+1=奇数とはなりますが、
この(整数)が(実数)ではいけないのです。

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回答

言わないとだめです。
答案で()の中身が整数であることを明記しないと言うことは、2ab+a+bが分数、小数など整数となる可能性を否定しないと言うことです。ですがこれを否定しなかった場合、当然ですが2(2ab+a+b)+1が整数とならない場合が出てきます。これでは命題の証明にはなっていません。なので、()の中身が整数であると言うことを明記する必要があります。

補足
質問とは関係ないですがa,bは実数とするよりも、a,bは整数とした方がいいと思います。a,bを実数としてしまうとm,nが整数とならない場合があるので、適切に証明できていないということで減点される可能性があります。

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